Aufgabe 1

Aufgabe: Berechne den Ohmschen Widerstand eines 40-W-Autoscheinwerfers, der für die Spannung von 12 V ausgelegt ist.

Gegeben: \(P = 40 \; W\) und \(U = 12 \; V\)
Gesucht: \(R\)

Die Formel für die elektrische Leistung ist:

\[ P = U \cdot I \hspace{1.5cm} (1) \] Das Ohmsche Gesetz lautet:

\[ U = R \cdot I \hspace{1.5cm} (2) \] Aus (2) und mit Hilfe von (1) erhalten wir:

\[ R = \frac{U}{I} = \frac{U^2}{P} = \frac{12^2 \cdot V^2}{40 \cdot V \cdot A} = 3.6 \; \Omega \] Einheiten: Watt: \(W = V \cdot A\) und Ohm: \(\Omega = V/A\).


Aufgabe 2

Aufgabe: Stelle den Zusammenhang des elektrischen Stroms in Abhängigkeit von der Spannung für einen Ohmschen Widerstand in einem Diagramm dar.

Es ist (siehe Gl. (2)):

\[ I = \frac{U}{R} \] Der Strom \(I\) ist proportional zur Spannung \(U\), der Anstieg ist \(1/R\).


R = c(10, 20, 30) # Ohm
U = seq(0, 50, length = 51)
I <- function(U, R) I = U/R

mtxt = "I versus U"
plot(U, I(U, R[1]), type = "l", col = "red", lty = 1, xlab = "U (V)", ylab = "I (A)", main = mtxt, font.main = 1)
lines(U, I(U, R[2]), type = "l", col = "blue", lty = 1)
lines(U, I(U, R[3]), type = "l", col = "green", lty = 1)
legend("topleft", c("R = 10 Ohm", "R = 20 Ohm", "R = 30 Ohm"), col = c("red", "blue", "green"), lty = 1, lwd = 2)

Je größer der Widerstand \(R\) , desto gringer der Strom \(I\) bei gleicher Spannung \(U\).


Aufgabe 3

Aufgabe: Ein Leiter hat die Länge \(\vec{l} = ( 3 \; \vec{e}_x + 4 \; \vec{e}_y) \; cm\) und wird vom einem Strom der Stärke \(I= 2.7 \; A\) durchflossenen. Der Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld \(\vec{B} = 1.3 \; \vec{e}_x \; T\). Berechne die auf den Leiter wirkende Kraft \(\vec{F}\).

Es ist vielleicht bequemer, die Vektoren etwas umzuschreiben (wir rechnen gleich um: \(cm \hspace{0.1cm} \rightarrow \hspace{0.1cm} m\)):

\[ \vec{l} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot 10^{-2} \; m \hspace{0.7cm} \text{und} \hspace{0.7cm} \vec{B} = \begin{pmatrix} 1.3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \; T \]

Hintergrund: (nicht zur Lösung der Aufgabe notwendig):

Die Kraftwirkung auf den Leiter kommt dadurch zustande, dass auf jeden durch den Leiter fließenden Ladungsträger die Lorentzkraft \(\vec{F}_{Lor}\) wirkt:

\[ \vec{F}_{Lor} = q \cdot ( \vec{v} \times \vec{B} ) \]

Die Lorentzkraft steht also senkrecht auf der durch \(\vec{v}\) festgelegten Bewegungsrichtung und dem Magnetfeld \(\vec{B}\) (also senkrecht auf der Bildschirmebene, siehe Skizze).

Wir können \(q \cdot \vec{v} = I \cdot \vec{l}\) setzen, siehe hier, Abschnitt “Lorentzkraft am stromdurchflossenen Leiter”. (Dies lässt sich durch Einheitenvergleich erhärten: \(As \cdot m/s = A \cdot m\)). Damit erhalten wir für die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter:

\[ \vec{F}_{Lor} = I \cdot ( \vec{l} \times \vec{B} ) \]

Lösungsvariante 1

Wir berechnen das Kreuzprodukt:

\[ \vec{l} \times \vec{B} = \begin{pmatrix} l_y \cdot B_z - l_z \cdot B_y \\ l_z \cdot B_x - l_x \cdot B_z \\ l_x \cdot B_y - l_y \cdot B_x \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1.3 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 - 4 \cdot 1.3 \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 5.2 \end{pmatrix} \; T \cdot 10^{-2} \; m \]

Ungleich Null ist nur die \(z\)-Komponente mit dem Wert \(- 5.2 \cdot 10^{-2} \; T \cdot m\). Der Strom \(I\) ist ein Skalar.

Damit hat auch die Kraft auf den Leiter nur eine \(z\)-Komponente mit dem Wert:

\[ F_z = - 2.7 \; A \cdot 5.2 \cdot 10^{-2} \; T \cdot m = - 0.14 \cdot A \cdot T \cdot m = - 0.14 \cdot N \]

Einheiten: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\) und \(N = kg \cdot m/s^2\).

Richtung der Kraft

Die Lorentzkraft geht, wie oben schon festgestellt, in Richtung der \(z\)-Achse. In der Skizze nach oben oder nach unten?:

Die Regel für das Kreuzprodukt lautet:

Ein Drehen des ersten Vektors (hier \(\vec{l}\)) auf dem kürzesten Weg zu dem zweiten Vektor (hier \(\vec{B}\)) ergibt eine Rechtsschraube. Wenn ich \(\vec{l}\) auf \(\vec{B}\) drehe, drehe ich rechts herum (im Uhrzeigersinn), ich drehe also die Schraube in den Bildschirm hinein. Der Leiter wird also in den Bildschirm hinein abgelenkt. Manch einer findet vielleicht auch die Rechte-Hand-Regel bequemer, um die Richtung zu bestimmen.

Lösungsvariante 2

Wer die Berechnung des Kreuzproduktes umgehen will - wer kann sich schon die Formel merken? - kann auch nur mit dem Betrag der Kraft rechnen, denn wir wissen ja, in welche Richtung diese wirkt. Der Betrag der Kraft auf den Leiter ist:

\[ \mid \vec{F}_{Lor} \mid = I \cdot \mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid \]

Wir brauchen nun \(\mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid\), also den Betrag des Kreuzproduktes. Dieser ist:

\[ \mid ( \vec{l} \times \vec{B} ) \mid = \mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid \cdot \sin{\alpha} \] wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec{l}\) und \(\vec{B}\) ist. Wir bekommen für die Beträge der Vektoren \(\vec{l}\) und \(\vec{B}\):

\[ \mid\vec{l}\mid = \sqrt{3^2 + 4^2} \cdot 10^{-2} m = 5 \cdot 10^{-2} \;m \] und

\[ \mid\vec{B}\mid = 1.3 \; T \]

Um den Winkel zwischen diesen Vektoren zu berechnen, benutzen wir das Skalarprodukt \(\vec{l} \cdot \vec{B}\):

\[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{l} \cdot \vec{B}}{\mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid} = \frac{3.9 \cdot 10^{-2} \;m \cdot T}{ 5 \cdot 10^{-2} \;m \cdot 1.3 \; T} = \frac{3}{5} \] Damit ist \(\alpha \approx 0.927\).

Wir können nun den Betrag der Kraft berechnen:

\[ \mid \vec{F}_{Lor} \mid = I \cdot \mid\vec{l}\mid \cdot \mid\vec{B}\mid \cdot \sin{\alpha} = 2.7 \; A \cdot 5 \cdot 10^{-2} \; m \cdot 1.3 \;T \cdot \sin{0.927} = 2.7 \; A \cdot 5 \cdot 10^{-2} \; m \cdot 1.3 \;T \cdot 0.8 = 0.1404 \; N \]

Einheiten: Tesla: \(T = kg/(A \cdot s^2)\) und \(N = kg \cdot m/s^2\).

Wir haben also das gleiche Ergebnis wie oben.


Aufgabe 4

Aufgabe: Ein Alphateilchen (Ladung \(+2 e\), Masse \(m = 6.65·10^{-27} \; kg\)) bewegt sich in einem Magnetfeld von \(B = 1 \; T\) auf einer Kreisbahn mit einem Radius von \(r = 0.5 \; m\). Berechne:
- (a) die Periodendauer,
- (b) den Betrag der Geschwindigkeit und
- (c) die kinetische Energie des Teilchens (in \(eV\)).

B steht senkrecht zur Bildschirmebene

B steht senkrecht zur Bildschirmebene

Hintergrund: Die Lorentzkraft muss das Teilchen auf die Kreisbahn zwingen. Deshalb muss die Lorentzkraft die Zentripetalkraft aufbringen (bzw. die Zentrifugalkraft ausgleichen, wie auch immer man das sehen will). Das klappt, weil die Lorentzkraft senkrecht auf \(\vec{v}\) und auf \(\vec{B}\) steht, also vom \(\alpha\) - Teilchen zur Kreisbahnmitte zeigt. Wir können also für die Beträge der Kräfte schreiben:

\[ \begin{align*} \mid \vec{F}_{Lorentz} \mid &= \mid \vec{F}_{Zentripetal} \mid \\[6pt] q \cdot \mid ( \vec{v} \times \vec{B} )\mid &= \frac{m \cdot v^2}{r} \\[6pt] q \cdot v \cdot B &= \frac{m \cdot v^2}{r} \end{align*} \]

Wir haben \(\mid \vec{v} \times \vec{B} \mid = v \cdot B\) benutzt, da \(\vec{v} \perp \vec{B}\) (\(\; \vec{v}\) senkrecht zu \(\vec{B} \;\)) ist, siehe Kreuzprodukt.

Wir haben nun nach Kürzen durch \(v\) unsere Ausgangsformel:

\[ q \cdot B = \frac{m \cdot v}{r} \hspace{1.5cm} (3) \]

Wir berechnen zunächst die Kreisfrequenz, wobei wir Gl. (3) und den allgemeingültigen Zusammenhang \(v = \omega \cdot r\) benutzen:

\[ \omega = \frac{v}{r} = \frac{q \cdot B}{m} \] Teilaufgabe a): Damit wird die Periode:

\[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi \cdot m}{q \cdot B} = \frac{2 \pi \cdot 6.65·10^{-27} \; kg}{2 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \; As \cdot 1 \; T} = 1.3 \cdot 10^{-7} \; s \]

(Die Elektronenladung beträgt \(e = 1.602 \cdot 10^{-19} \; C = 1.602 \cdot 10^{-19} \; As\))

Einheiten: Tesla: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\)

Teilaufgabe b): Wir stellen nun Gl. (3) nach der Geschwindigkeit um:

\[ v = \frac{q \cdot B \cdot r}{m} = \frac{2 \cdot 1.602 \cdot 10^{-19} \; As \cdot 1 \; T \cdot 0.5 \; m}{6.65·10^{-27} \; kg} = 2.41 \cdot 10^7 \; m/s \]

Einheiten: Tesla: \(T = V \cdot s/m^2 = kg/(A \cdot s^2)\)

Teilaufgabe c): Wir müssen überprüfen, ob relativistisch gerechnet werden muss. Die Lichtgeschwindigkeit ist \(c \approx 3 \cdot 10^8 m/s\), daher \(v/c \approx 0.08\) und der Lorentzfaktor

\[ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \left( \frac{v}{c} \right)^2 }} = \frac{1}{\sqrt{1- \left( 0.08 \right)^2 }} \approx 1.003 \] Das ist ziemlich nahe an 1, deshalb kann klassisch gerechnet werden.

(Die relativistische kinetische Energie ist \(W_{kin} = (\gamma - 1) \cdot m c^2\), wenn \(v \ll c\) geht das in den klassischen Ausdruck \(m/2 \cdot v^2\) über)

Die klassische kinetische Energie ist also:

\[ W_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 = \frac{6.65·10^{-27} \; kg}{2} \cdot \left(2.41 \cdot 10^7 \; m/s \right)^2 = 1.93 \cdot 10^{-12} \; J = 1.93 \cdot 10^{-12} \cdot 6.24 \cdot 10^{18} \; eV \approx 1.2 \cdot 10^7 \; eV = 12 \; MeV \]

Einheiten: Joule: \(J = Nm = kg \cdot m^2/s^2\)

Umrechnung zu Elektronvolt:

\[ 1 \cdot eV = 1.602 \cdot 10^{-19} \; J \hspace{0.3cm} \rightarrow \hspace{0.3cm} 1 \; J \approx 6.24 \cdot 10^{18} \; eV \]

Diese Formeln werden auch für die Berechnung des Zyklotrons benutzt.


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