Wir haben vorausgesetzt, dass folgende Parameter bekannt sind:
Für die Auslenkung und die Geschwindigkeit erhalten wir:
\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] v(t) &= -A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \Big[ \gamma \cdot \cos{(\alpha \cdot t - \delta)} + \alpha \cdot \sin{(\alpha \cdot t - \delta)} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]
Frequenz der gedämpften Schwingung:
\[ \alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \]
(\(\alpha\) ist eine positive relle Zahl, denn bei schwacher Dämpfung ist \(\omega > \gamma\).)
Die Konstante \(\omega\) ist hier die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung:
\[ \omega = \sqrt{k_R/m} \]
Die Amplitude der gedämpften Schwingung erhalten wir aus den Anfangsbedingungen \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\):
\[ A = E \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right)^2} \] Die Phase der gedämpften Schwingung erhalten wir ebenfalls aus den Anfangsbedingungen :
\[ \delta = \arctan{\Bigg[ \frac{1}{\alpha} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right) \Bigg]} \]
Dabei wurden folgende Abkürzungen benutzt:
\[ \begin{align*} E &= x_0 - B \cdot \cos{\phi} \\[6pt] F &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{\phi} \end{align*} \]
Phasenverschiebung zwischen äußerer Kraft und Schwingung:
\[ \phi = \arctan{\frac{2 \cdot \gamma \cdot \Omega}{\omega^2 - \Omega^2}} \]
Amplitude des erzwungenen Schwingungsanteils:
\[ B = \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \]
Wenn keine äußere Kraft wirkt (\(B=0\)), dann ist \(E=x_0\) und \(F=v_0\) und wir haben statt dessen:
\[ A = x_0 \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \left( \frac{v_0}{x_0} + \gamma\right)^2} = \sqrt{x_0^2 + \frac{\left(v_0 + \gamma \cdot x_0 \right)^2}{\alpha^2}} \] \[ \delta = \arctan{\Bigg[ \frac{1}{\alpha} \cdot \left( \frac{v_0}{x_0} + \gamma\right) \Bigg]} = \arctan{\Big[ \frac{v_0 + \gamma \cdot x_0}{\alpha \cdot x_0} \Big]} \]
Auslenkung und Geschwindigkeit sind dann:
\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} \\[6pt] v(t) &= -A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \Big[ \gamma \cdot \cos{(\alpha \cdot t - \delta)} + \alpha \cdot \sin{(\alpha \cdot t - \delta)} \Big] \end{align*} \]
Wenn außerdem auch die Dämpfung wegfällt (\(\gamma=0\)), dann ist \(\alpha = \omega\) und wir bekommen:
\[ A = \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \] \[ \delta = \arctan{ \frac{v_0}{\omega \cdot x_0}} \]
Auslenkung und Geschwindigkeit sind dann:
\[
\begin{align*}
x(t) &= A \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t -
\delta\right)} \\[6pt]
v(t) &= -A \cdot \omega \cdot \sin{(\omega \cdot t - \delta)}
\end{align*}
\]
Bei starker Dämpfung erhalten wir für Auslenkung und Geschwindigkeit:
\[ \begin{align*} x(t) &= e^{ -\gamma \cdot t } \cdot \Big[ C_1 \cdot e^{\beta \cdot t} + C_2 \cdot e^{-\beta \cdot t} \Big] + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] v(t) &= e^{-\gamma \cdot t} \cdot \Big[C_1 \cdot (\beta - \gamma) \cdot e^{\beta \cdot t} - C_2 \cdot (\beta + \gamma)\cdot e^{-\beta \cdot t} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]
Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) ergeben sich aus den Anfangsbedingungen \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\):
\[ \begin{align*} C_1 &= \frac{E \cdot (\beta + \gamma)+F}{2 \beta} \\[6pt] C_2 &= \frac{E \cdot (\beta - \gamma)-F}{2 \beta} \end{align*} \] Außerdem haben wir:
\[ \beta = \sqrt{\gamma^2 - \omega^2} \] (\(\beta\) ist eine positive relle Zahl, denn bei starker Dämpfung ist \(\gamma > \omega\).)
Die Konstanten \(B\), \(\phi\), \(E\) und \(F\) sind die gleichen wie oben.
Wie oben gehen bei Wegfall von äußerer Kraft und/oder Dämpfung die Konstanten automatisch in die korrekten Ausdrücke über.
Dieser ist durch \(\gamma = \omega\) definiert.
Wir erhalten für Auslenkung und Geschwindigkeit:
\[ \begin{align*} x(t) &= e^{-\gamma \cdot t} \cdot \left( C_1 + C_2 \cdot t \right) + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] v(t) &= -\gamma \cdot e^{-\gamma \cdot t} \cdot (C_1 + C_2 \cdot t) + C_2 \cdot e^{-\gamma \cdot t} - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]
Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) erhalten wir wieder aus den Anfangsbedingungen \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\):
\[ \begin{align*} C_1 &= E \\[6pt] C_2 &= F + \gamma \cdot E \end{align*} \]
Die Konstanten \(B\), \(\phi\), \(E\) und \(F\) sind die gleichen wie oben.
Wie oben gehen bei Wegfall von äußerer Kraft und/oder Dämpfung die Konstanten automatisch in die korrekten Ausdrücke über.
Potentielle Energie:
\[ W_{pot} = \frac{k_R}{2}\cdot x(t)^2 \] Kinetische Energie:
\[ W_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v(t)^2 \]
Für die Berechnung der Energien können also einfach die oben gelisteten Ausdrücke für \(x(t)\) und \(v(t)\) benutzt werden:
\[ \Omega_{max} = \sqrt{\omega^2 - 2 \cdot \gamma^2} \]
Diese Erregerfrequenz verursacht die maximale Amplitude der erzwungenen Schwingung.