Ein Quader, eine Vollkugel und ein Vollzylinder starten auf einer schiefen Ebene auf der Höhe \(h\) mit der Geschwindigkeit \(v_0=0\). Reibung und eventueller Schlupf werden vernächlässigt. Welcher der drei Körper kommt zuerst unten an?
Es wird die potentielle Energie \(E_{pot}=m \cdot g \cdot h\) in Bewegungsenergie verwandelt. Der Quader rollt nicht, die gesamte Energie kann also in die Vorwärtsbewegung gehen. Daher sollte der Quader zuerst ankommen. Danach sollte die Vollkugel ankommen, denn sie hat ein geringeres Trägheitsmoment als der Vollzylinder, kann somit leichter in Rollbewegung gebracht werden als der Vollzylinder. Eine Tabelle mit Trägheitsmomenten einiger Körper findet sich auf Wikipedia.
Wir wollem mit Hilfe des Energiesatzes die Endgeschwindigkeit (am Fuße der schiefen Ebene) ausrechnen. Der Körper mit der größten Endgeschwindigkeit kommt zuerst an, denn er hat während der Bewegung die größte (konstante) Beschleunigung erfahren.
Der Energiesatz muss die potentielle Energie \(E_{pot}\), die kinetische Energie der Translation \(E_{trans}\) und die Rotationsenergie \(E_{rot}\) berücksichtigen. Der Energiesatz lautet damit allgemein:
\[ E_{pot} = E_{trans} + E_{rot} \]
oder, mehr konkret:
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{J}{2} \cdot \omega^2 \]
Es sind:
Hier kommte keine Rotation vor, wir haben also nur:
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 \] Nach Kürzen von \(m\) und Umstellen nach \(v\) erhalten wir:
\[
v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{g \cdot h} \approx
1.414 \cdot \sqrt{g \cdot h} \hspace{2cm} \text{Quader}
\]
Wir haben
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{J}{2} \cdot \omega^2 \] und benutzen \(J = \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2\), siehe Tabelle. Außerdem ist \(\omega = v/r\). Damit ergibt sich:
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \cdot m \cdot r^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{m}{5} \cdot v^2 = \frac{7}{10} \cdot m \cdot v^2 \] Nach Kürzen von \(m\) und Umstellen nach \(v\) erhalten wir:
\[
v = \sqrt{\frac{10}{7} \cdot g \cdot h} = \sqrt{\frac{10}{7}} \cdot
\sqrt{g \cdot h} \approx 1.195 \cdot \sqrt{g \cdot h} \hspace{2cm}
\text{Vollkugel}
\]
Da Rotation vorkommt, haben wir wieder:
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{J}{2} \cdot \omega^2 \] Diesmal ist \(J = \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2\), siehe Tabelle. Außerdem ist wieder \(\omega = v/r\). Damit ergibt sich
\[ m \cdot g \cdot h = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot m \cdot r^2 \cdot \frac{v^2}{r^2} = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{m}{4} \cdot v^2 = \frac{3}{4} \cdot m \cdot v^2 \] Nach Kürzen von \(m\) und Umstellen nach \(v\) erhalten wir:
\[ v = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot g \cdot h} = \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \sqrt{g \cdot h} \approx 1.155 \cdot \sqrt{g \cdot h} \hspace{2cm} \text{Vollzylinder} \]
Hier noch einmal der Vergleich:
| Körper | Endgeschwindigkeit |
|---|---|
| Quader | \(v = \sqrt{2} \cdot \sqrt{g \cdot h} \approx 1.414 \cdot \sqrt{g \cdot h}\) |
| Vollkugel | \(v = \sqrt{\frac{10}{7}} \cdot \sqrt{g \cdot h} \approx 1.195 \cdot \sqrt{g \cdot h}\) |
| Vollzylinder | \(v = \sqrt{\frac{4}{3}} \cdot \sqrt{g \cdot h} \approx 1.155 \cdot \sqrt{g \cdot h}\) |
Die anfangs gemachte Vermutung scheint richtig zu sein. Der Körper mit der größten Endgeschwindigkeit hat auch die kürzeste Laufzeit. Der Quader hat die größte Endgeschwindigkeit und kommt daher zuerst an. Danach kommt die Vollkugel an, zuletzt der Vollzylinder. Die Laufzeit hängt nicht von der Masse \(m\) ab (dies ist ja auch beim freien Fall so!).