Bewegung in einer Dimension
Mittlere Geschwindigkeit
\(\hspace{1cm}\) \(\Delta x\) gesamte zurückgelegte Strecke ; \(\hspace{0.1cm}\) \(\Delta t\) gesamte benötigte Zeit
\[ \overline{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \hspace{2cm} [m/s] \]
Momentane Geschwindigkeit
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} \hspace{2cm} [m/s] \]
\(\hspace{1cm}\) Spezialfall: sei \(v = v_0 = const.\)
\[ \frac{dx}{dt} = v_0 \quad \Longrightarrow \quad x(t) = v_0 \cdot t + x_0 \] Man sieht, dass durch Ableitung beider Seiten der rechten Gleichung nach \(t\) wieder die linke Gleichung entsteht, siehe Anhang für die formale Herleitung.
x0 = 0
v0 = 5
t = seq(0, 10, len = 201)
plot(t, v0*t + x0, col = "red", type = "l", lwd = 2, main = "Distance for constant velocity", font.main = 1, ylab = "x(t)")
mtext("x0 = 0; slope = v0 = 5", side = 3, col = "blue", cex = 1)
Beschleunigung
\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} \hspace{2cm} [m/s^2] \]
\(\hspace{1cm}\) Spezialfall: sei \(a = a_0 = const.\)
\[ \frac{dv}{dt} = a_0 \quad \Longrightarrow \quad v(t) = a_0 \cdot t + v_0 \hspace{2cm} (1) \]
\(\hspace{1cm}\) und daher:
\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = a_0 \cdot t + v_0 \quad \Longrightarrow \quad x(t) = \frac{a_0}{2} \cdot t^2 + v_0 \cdot t + x_0 \hspace{2cm} (2) \]
x0 = 0
v0 = 5
a0 = 3
t = seq(0, 10, len = 201)
plot(t, a0/2*t^2 + v0*t + x0, col = "red", type = "l", lwd = 2, main = "Distance for constant acceleration", font.main = 1, ylab = "x(t)")
mtext("x0 = 0; v0 = 5; a0 = 3", side = 3, col = "blue", cex = 1)
Wir behandeln weiter den Spezialfall \(a = a_0 = const.\):
Aus Gleichung (1) folgt: \(t = \frac{v-v_0}{a_0}\). Dies in (2) eingesetzt ergibt:
\[ x = \frac{a_0}{2} \left( \frac{v-v_0}{a_0} \right)^2 + v_0 \cdot \left( \frac{v-v_0}{a_0} \right) + x_0 \]
Wenn wir dies nach \(v\) umstellen und außerdem \(\Delta x = x - x_0\) setzen, erhalten wir:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a_0 \cdot \Delta x \hspace{2cm} (3) \] Diese Formel ergibt also die erreichte Geschwindigkeit \(v\), wenn ein Körper ausgehend von der Geschwindigkeit \(v_0\) mit konstanter Beschleunigung \(a_0\) über eine Strecke \(\Delta x\) beschleunigt wird.
Anhang
Formale Herleitung von Gleichung (1):
\[
\frac{dx}{dt} = v_0 \quad \Longrightarrow \quad dx = v_0 \cdot dt
\] Wir integrieren links von \(x_0\) bis \(x\) und auf der rechten Seite von \(t_0\) bis \(t\)
(und ändern die Bezeichnung für die Integrationsvariablen: \(x \rightarrow x^\prime\) und \(t \rightarrow t^\prime\)):
\[ \int_{x_0}^x 1 \cdot dx^\prime = \int_{t_0}^t v_0 \cdot dt^\prime = v_0 \cdot \int_{t_0}^t 1 \cdot dt^\prime \hspace{2cm} (v_0 \; \text{ist konstant}) \]
Ausführung der Integration:
\[ \left[ x^\prime \right]_{x_0}^x = v_0 \cdot \left[ t^\prime \right]_{t_0}^t \] \[ x - x_0 = v_0 \cdot \left( t -t_0 \right) \] Meist wird der Einfachheit halber \(t_0 = 0\) gesetzt, so dass wir schließlich
\[ x = v_0 \cdot t + x_0 \]
erhalten.