Elastizität und Fluide
Normalkräfte
Ein Körper kann unter Wirkung von Normalkräften gedehnt werden. Die Dehnung \(\varepsilon\) ist definiert als:
\[
\varepsilon = \frac{\Delta l}{l_0}
\] - \(\Delta l\):
Längenänderung unter Zug
- \(l_0\): ursprüngliche Länge
Ein Körper steht bei Wirkung von Normalkräften unter Spannung. Die Spannung \(\sigma\) ist definiert als:
\[
\sigma = \frac{F_n}{A}
\] - \(F_n\): Normalkraft
- \(A\): Fläche
Der Elastizitätsmodul ist definiert als “Spannung pro Dehnung”:
\[
E = \frac{\sigma}{\varepsilon} = \frac{F_n}{A} \cdot \frac{l_0}{\Delta
l}
\]
Tangentialkräfte
Ein Körper kann unter Wirkung von Tangentialkräften eine Scherung erfahren.
Die Scherung \(\gamma\) ist definiert als:
\[
\gamma = \frac{\Delta x}{l}
\] - \(\Delta x\): seitliche
Verschiebung
- \(l\): Länge (siehe Skizze)
Die Scherspannung ist definiert als:
\[
\tau = \frac{F_t}{A}
\] - \(F_t\):
Tangentialkraft
- \(A\): Fläche (siehe Skizze)
Dichte, Druck, Kompressionsmodul
\[ \rho = \frac{m}{V} \hspace{1.5cm} [kg/m^3] \] Druck:
\[ P = \frac{F}{A} \hspace{1.5cm} [N/m^2] \]
\[ K = \frac{\Delta P}{\Delta V/V} \hspace{1.3cm} [N/m^2] \]
“Wie groß muss die Druckänderung \(\Delta P\) sein, um eine Volumenänderung \(\Delta V/V\) zu erreichen?”
Schweredruck
Der Schweredruck (hydrostatischer Druck) in einer bestimmten Tiefe kommt durch das Gewicht der darüber liegenden Flüssigkeitssäule zustande.
Um den Druck \(P\) an der Unterseite der Flüssigkeitssäule zu berechnen, muss das Gewicht der Flüssigkeit zu dem Druck \(P_0\) an der Oberseite der Säule addiert werden (dies kann z.B. die Wasseroberfläche mit \(P_0\) = Luftdruck sein):
\[ P = P_0 + \frac{m \cdot g}{A} = P_0 + \frac{\rho \cdot V \cdot g}{A} = P_0 + \frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A} \] und schließlich:
\[ P = P_0 + \rho \cdot g \cdot h \hspace{1.5cm} (1) \] Hier ist \(\rho\) die Dichte der Flüssigkeit und \(h\) die Höhe der Flüssigkeitssäule.
Wir haben bei der Herleitung vorausgesetzt, dass die Dichte der Flüssigkeit in der gesamten Säule konstant ist (inkompressible Flüssigkeit).
Beispiel: In welcher Wassertiefe beträgt der Druck 2 atm ?
Es ist \(P_0 = 1 \; atm = 101.3 \; kPa\) (Luftdruck, Wasseroberfläche). Wir stellen Gleichung (1) nach \(h\) um:
\[ h = \frac{P-P_0}{\rho \cdot g} = \frac{101300 \; Pa}{1000 \; kg/m^3 \cdot 9.81 \; m/s^2} \approx 10.3 \; m \]
(Einheiten: \(Pa = N/m^2 = \frac{kg}{m \cdot s^2}\))
Hydrostatisches Paradoxon
Pascalsches Prinzip: Der Druck, den eine Flüssigkeit in einem Gefäß auf den Gefäßboden ausübt, hängt nur von der Füllhöhe der Flüssigkeit ab. Bei gleicher Füllhöhe hat die Form des Gefäßes oder die Gesamtmenge der Flüssigkeit keinen Einfluss auf den Druck.
Der Flüssigkeitsdruck am Boden ist in allen drei Gefäßen identisch, obwohl man annehmen könnte, dass er – aufgrund der geringeren Füllmenge – im linken Gefäß geringer ist als im mittleren und im rechten. Daher wird diese Tatsache auch als Hydrostatisches Paradoxon bezeichnet. Der Druck am Boden ist nur von der Höhe und der Dichte der Flüssigkeit abhängig, in Übereinstimmung mit Gleichung (1).
Die vertikale Verteilung des Schweredrucks ist unabhängig von der Form der darüber liegenden Wassersäule.
Pascalsches Gesetz
Das Pascalsche Gesetz besagt, dass sich der auf eine Flüssigkeit ausgeübte Druck in alle Raumrichtungen gleichmäßig verteilt.
Anwendung: Kommunizierende Kolben
Zwei Kolben unterschiedlichen Querschnitts sind mit einander verbunden. An den rot markierten Stellen herrscht der gleiche Druck, d.h. \(P_1=P_2\). Das bedeutet:
\[ \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm} F_2 =\frac{A_2}{A_1} \cdot F_1 \]
Da \(A_2 > A_1\) ist auch \(F_2 > F_1\). Man kann also mit einer kleinen Kraft am kleineren Kolben eine größere Kraft am größeren Kolben bewirken. Diese Anordnung ist daher ein Kraftwandler ähnlich wie ein Hebel. Dabei bleibt jedoch die mechanische Energie erhalten, denn der kleinere Kolben muss eine längere Strecke heruntergedrückt werden als der große Kolben sich hebt, so dass die mechanische Arbeit \(W = F \cdot s\) auf beiden Seiten die gleiche ist.
Beispiel: Der große Kolben einer hydraulischen Hebebühne hat eine Fläche von \(A_2 = 2 \; m^2\). Welche Kraft muss auf den kleinen Kolben mit dem Radius \(r = 4 \; cm\) mindestens wirken, damit ein Auto der Masse \(m = 1500 \; kg\) gehoben werden kann?
Die Gewichtskraft des Autos ist \(F_2 = m
\cdot g = 1500 \; kg \cdot 9.81 \; m/s^2 = 14.7 \; kN\).
(Einheiten: \(N = kg \cdot m /s^2\)).
Der Querschnitt des kleinen Kolbens ist \(A_1
= \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.04 \; m)^2 = 0.005 \; m^2\).
Nach obiger Formel ist daher \(F_1 = A_1/A_2
\cdot F_2 = 0.005 \; m^2 / 2 \; m^2 \cdot 14.7 \; kN = 36.7 \;
N\).
Ein Mensch könnte also das Auto heben.
Die Barometrische Höhenformel
In Gasen ist der Zusammenhang zwischen Druck und Höhe der Gassäule komplizierter, da die Dichte innerhalb der Säule nicht als konstant angenommen werden kann. Gleichung (1) ist also nicht anwendbar. Stattdessen gilt die Barometrische Höhenformel:
\[ P(h) = P_0 \cdot \exp{\left(-\frac{\rho_0}{P_0} \cdot g \cdot h \right)} \hspace{1.5cm} (2) \]
Hier ist \(h\) die Höhe über der Referenzposition (z. B. Erdoberfläche), während \(P_0\) und \(\rho_0\) Druck und Dichte an dieser Referenzposition sind. Der Druck nimmt also mit der Höhe exponentiell ab.
g = 9.81 # m/s^2 Schwerebeschleunigung
P0 = 101300 # Pa Luftdruck Erdoberfläche
rho0 = 1.2 # kg/m3 Luftdichte Erdoberfläche
h = seq(0, 40000, length = 201) # m Höhe
Ph = P0*exp(-rho0/P0*g*h)
plot(Ph/1000, h, col = "blue", type = "l", lwd = 1.5, xlab="Pressure", ylab = "Height (m)", main = "Air pressure (kPa)", font.main = 1)
Anmerkung: Mit der für das ideale Gas gültigen Beziehung \(\rho_0 = P_0 \cdot M / (R \cdot T)\) lässt sich die obige Gleichung auch umschreiben, siehe hier oder hier.
Auftrieb
Bedingt durch den Schweredruck (Gleichung 1) ist in Flüssigkeiten (oder Gasen) der Druck an der Unterseite eines Körpers größer als an der Oberseite. Dadurch entsteht eine resultierende Kraft nach oben - die Auftriebskraft.
Die resultierende Kraft ist (unter Benutzung von Gleichung 1 und \(F = P \cdot A\)):
\[ F_{A} = F_{unten} - F_{oben} = \left( P_0 + \rho \cdot g \cdot h \right) \cdot A - P_0 \cdot A = \rho \cdot g \cdot h \cdot A \] und mit \(V = h \cdot A\) schließlich:
\[ F_{A} = \rho \cdot g \cdot V \hspace{1.5cm} (3) \] Hier ist \(\rho\) die Dichte der Flüssigkeit und \(V\) das Volumen des eingetauchten Körpers (genauer das “untergetauchte Volumen”, wenn sich der Körper nicht vollständig in der Flüssigkeit befindet).
Anmerkung: Der Ausdruck \(\rho \cdot V\) ist die Masse der verdrängten Flüssigkeit, daher ist \(F_{A}\) das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit = Archimedisches Prinzip.
Beispiel: Eintauchtiefe eines Eisbergs
Der Eisberg schwimmt, Gewichtskraft und Auftrieb halten sich also die Waage:
\[ m \cdot g = \rho_W \cdot g \cdot V_u \] Für das Gewicht des Eisbergs können wir schreiben: \(m = \rho_E \cdot V_E\). Hier sind \(\rho_E\) die Dichte des Eises und \(V_E\) das gesamte Volumen des Eisberges. Wir bekommen also:
\[ \rho_E \cdot V_E = \rho_W \cdot V_u \] Das Verhältnis von untergetauchtem Volumen zu Gesamtvolumen ist damit:
\[ \frac{V_u}{V_E} = \frac{\rho_E}{\rho_W} = \frac{917 \; kg/m^3}{1000 \; kg/m^3} = 91.7 \% \]
Über 90% des Eisbergs befinden sich also unter Wasser.
Die Kontinuitätsgleichung
Wir betrachten eine Strömung in einem Rohr mit wechseldem Querschnitt.
Es gilt die Kontinuitätsgleichung entlang des gesamtem Rohres:
\[ I = A \cdot v = const. \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm} A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \] Die Größe \(I = A \cdot v\) nennt sich Volumenstrom. Die Formel gilt für imkompressible Flüssigkeiten (\(\rho = const.\)).
Die Einheit des Volumenstroms ist \(m^3/s\). Damit wird auch klar, warum die obige Gleichung gelten muss: Wenn an der Position 1 eine gewisse Anzahl \(m^3/s\) durchströmen, so muss das auch an der Position 2 oder an einer beliebigen anderen Stelle der Fall sein, da ja nirgends Masse verschwindet.
Die Bernoulli-Gleichung
Wir betrachten wiederum eine Strömung, diesmal noch etwas komplizierter. Wir involvieren die Dichte der Flüssigkeit in die Gleichung und lassen außerdem einen möglich Höhenunterschied zu. Dann gilt die Bernoulli-Gleichung:
\[ P + \rho \cdot g \cdot h + \frac{\rho}{2} \cdot v^2 = const. \hspace{1cm} (4) \]
Hier sind \(P\) der statische Druck, \(\rho\) die Dichte, \(h\) die Höhe und \(v\) die Strömungsgeschwindigkeit.
Für zwei beliebige Punkte in einer Strömung gilt also:
\[
P_1 + \rho_1 \cdot g \cdot h_1 + \frac{\rho_1}{2} \cdot v_1^2 = P_2 +
\rho_2 \cdot g \cdot h_2 + \frac{\rho_2}{2} \cdot v_2^2
\]
Wenn kein Niveauunterschied vorhanden ist und die Dichte ungefähr konstant bleibt (\(\rho \cdot g \cdot h = const.\)), dann reduziert sich Formel (4) auf:
\[ P + \frac{\rho}{2} \cdot v^2 = const. \]
Wenn die Strömungsgeschwindigkeit \(v\) klein ist, ist also der statische Druck \(P\) groß und umgekehrt. Aufgrund dieses physikalischen Prinzips können sich Flugzeuge in der Luft halten. Durch die Form der Tragfläche ist \(v\) an der Oberseite größer als an der Unterseite. Daher ist der statische Druck \(P\) an der Unterseite größer ist als an der Oberseite. Das Flugzeug wird folglich “nach oben gedrückt”:
