Impuls

Der (nichtrelativistische) Impuls \(\vec{p}\) ist das Produkt von Masse \(m\) und Geschwindigkeit \(\vec{v}\):

\[ \vec{p} = m \cdot \vec{v} \hspace{2cm} (1) \] Die Einheit ist \(kg \cdot m / s\) oder \(N \cdot s\).

Die Größen \(\vec{p}\) und \(\vec{v}\) sind Vektoren, dessen Komponenten unabhängig voneinander behandelt werden können, so dass wir auch schreiben können:

\[ \begin{align*} p_x &= m \cdot v_x \\ p_y &= m \cdot v_y \\ p_z &= m \cdot v_z \end{align*} \]

Durch Zeitableitung von Gleichung (1) erhält man den Zusammenhang zwischen Impulsänderung und Beschleunigung \(\vec{a}\):

\[ \frac{d\vec{p}}{dt} = m \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = m \cdot \vec{a} = \vec{F} \]

und damit den Zusammenhang zwischen Impulsänderung und Kraft \(\vec{F}\):

\[ \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F} \hspace{2cm} (2) \]

Eine äußere Kraft bewirkt also eine Impulsänderung. Bei Abwesenheit von äußeren Kräften bleibt der Impuls erhalten.

Gleichung (2) in Komponentenschreibweise:

\[ \begin{align*} \frac{dp_x}{dt} &= F_x \\[4pt] \frac{dp_y}{dt} &= F_y \\[4pt] \frac{dp_z}{dt} &= F_z \end{align*} \]

Die kinetische Energie kann mit Hilfe des Impulses ausgedrückt werden. Mit \(v = p/m\) wird die kintetische Energie:

\[ W_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 = \frac{p^2}{2m} = \frac{1}{2m} \left( p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 \right) \]


Kraftstoß und Impuls

Aus Gl. (2) erhält man \(d\vec{p} = \vec{F} \cdot dt\) und durch anschließende Integration:

\[ \vec{p_2} - \vec{p_1} = \int_{t_1}^{t_2} \vec{F}(t) \cdot dt \hspace{2cm} (3) \]

Eine Impulsänderung \(\Delta \vec{p} = \vec{p_2} - \vec{p_1}\) kann also durch eine die Zeitspanne \(\Delta t = t_2 - t_1\) anhaltende Kraft hervorgerufen werden. Obige Formel in Komponentenschreibweise:

\[ \begin{align*} \Delta p_x &= \int_{t_1}^{t_2} F_x(t) \cdot dt \\[6pt] \Delta p_y &= \int_{t_1}^{t_2} F_y(t) \cdot dt \\[6pt] \Delta p_z &= \int_{t_1}^{t_2} F_z(t) \cdot dt \end{align*} \]

Ist die Kraft zeitlich konstant, folgt aus Gleichung (3) einfach (siehe Anhang):

\[ \Delta \vec{p} = \vec{F} \cdot \Delta t \hspace{2cm} (4) \]

Bespiel: Kraftstoß mit konstanter Kraft

Ein 2 kg schwerer Körper ist anfangs in Ruhe und wird über den Zeitraum von einer halben Minute mit der konstantem Kraft von 10 Newton angestoßen. Bewegungsrichting und Kraftrichtung sind identisch. Wie groß ist danach seine Geschwindigkeit?

Das Problem kann eindimensional behandelt werden, da Bewegungsrichting und Kraftrichtung gleich sind.
Die Impulsänderung beträgt:

\[ \Delta p = p_2 - p_1 = p_2 = F \cdot \Delta t = 10 \; N \cdot 30 \; s = 300 \; Ns \]

Wir haben \(p_1 = 0\) berücksichtigt sowie die Tatsache, dass die Kraft zeitlich konstant ist, also Gleichung (4) angewendet.

Aus \(p_2 = m \cdot v_2\) kann nun die Geschwindigkeit berechnet werden:

\[ v_2 = \frac{p_2}{m} = \frac{300 \; Ns}{2 \;kg} = 150 \; m/s \] Für die Einheit Newton gilt: \(N = \frac{kg \; m}{s^2}\)


Impulserhaltung

Der Impuls ist eine der fundamentalen Erhaltungsgrößen in der Physik. Ohne Einwirkung von äußeren Kräften bleibt der Impuls eines abgeschlossenen Systems erhalten. Erfolgt die Bewegung in einem mehrdimensionalen Raum, ist zu beachten, dass die vektorielle Summe der Impulse erhalten bleibt.

Beispiel: Feder zwischen zwei Kugeln

Eine gespannte Feder befindet sich zwischen zwei Kugeln, die sich anfangs in Ruhe befinden. Die Federspannung ist eine Form der potentiellen Energie. Nun wird die Feder losgelassen, so dass die Kugeln in unterschiedliche Richtungen fliegen. Eine Kugel mit der Masse von \(4 \; kg\) fliegt nach rechts mit der der Geschwindigkeit \(v = 8 \; m/s\). Die zweite Kugel mit der Masse \(2 \; kg\) fliegt nach links. Wie groß ist die Geschwindigkeit der zweiten Kugel ?

Der Gesamtimpuls vor dem Entspannen der Feder war Null, also muss dies auch danach gelten. Wir haben also

\[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0 \] Daraus folgt

\[ v_2 = - \frac{m_1}{m_2} \cdot v_1 = - \frac{4}{2} \cdot 8 \; m/s = - 16 \; m/s \]


Beispiel: Eindimensionaler, vollkommen elastischer Zusammenstoß zweier Körper

Vollkommen elastischer Stoß bedeutet, dass auch die kinetische Energie erhalten bleibt, d.h. es wird keine kinetische Energie in Wärme oder Verformungsenergie umgewandelt. (Die Gesamtenergie, d.h. die Summe aller dieser Energiearten, bleibt natürlich erhalten).

Wir führen folgende Bezeichnungen ein:

Zeitpunkt Körper 1 Körper 2
vor dem Stoß \(m_1 \;;\; v_1\) \(m_2 \;;\; v_2\)
nach dem Stoß \(m_1 \;;\; u_1\) \(m_2 \;;\; u_2\)

Der Gesamtimpuls vor dem Stoß ist genau so groß wie der Gesamtimpuls nach dem Stoß:

\[ \begin{align*} p_{vor} &= p_{nach} \\[4pt] m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 &= m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2 \hspace{2cm} (5) \end{align*} \]

Wir können annehmen, dass die Größen vor dem Stoß bekannt sind, also \(m_1\), \(m_2\), \(v_1\) und \(v_2\). Gesucht werden also \(u_1\) und \(u_2\). Bei den Berechnungen muss auf die Vorzeichen der Geschwindigkeiten und Impulse geachtet werden:

Wir haben hier bisher nur eine einzige Gleichung für zwei Unbekannte \(u_1\) und \(u_2\). Wir müssen also noch die Gleichung für die kinetische Energie hinzuziehen:

\[ \begin{align*} W_{vor} &= W_{nach} \\[4pt] \frac{m_1}{2} v_1^2 \;+\; \frac{m_2}{2} v_2^2 &= \frac{m_1}{2} u_1^2 \;+\; \frac{m_2}{2} u_2^2 \hspace{2cm} (6) \end{align*} \]

Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dies nur beim vollkommen elastischen Stoß so gemacht werden kann, da sonst die kinetische Energie nicht erhalten bleibt.

Die Gleichungen (5) und (6) bilden nun ein System von 2 Gleichungen für 2 Unbekannte. Die Auflösung des Systems ist allerdings etwas länglich. Es sei hier nur die Lösung angegeben:

\[ \begin{align*} u_1 &= \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \left( 2 \cdot v_2 - v_1 \right)}{m_1 + m_2} \\[6pt] u_2 &= \frac{m_2 \cdot v_2 + m_1 \left( 2 \cdot v_1 - v_2 \right)}{m_1 + m_2} \end{align*} \]


Sei \(m_1 = 2 \; kg\) , \(m_2 = 1 \; kg\) , \(v_1 = 1 \; m/s\) und \(v_2 = -5 \; m/s\). Der zweite Körper bewegt sich also von rechts nach links. Ein kleines Programm ist hier wohl hilfreich:

velocities <- function(m1, m2, v1, v2) {
  if(m1 <= 0) stop("\n OOPS! Mass m1 must be positive!\n ")
  if(m2 <= 0) stop("\n OOPS! Mass m2 must be positive!\n ")
  M = m1 + m2  
  u1 = (m1*v1 + m2*(2*v2 - v1))/M
  u2 = (m2*v2 + m1*(2*v1 - v2))/M  
  res = list(u1 = u1, u2 = u2)
  return(res)
}

m1 = 2  # kg
m2 = 1  # kg
v1 = 1  # m/s
v2 = -5 # m/s

vel = velocities(m1, m2, v1, v2)
u1 = vel$u1
u2 = vel$u2
cat(paste("u1 =", signif(u1,4) , " u2 =", signif(u2, 4),"\n"))
## u1 = -3  u2 = 3

Vielleicht noch eine Probe:

p_vor  = m1*v1 + m2*v2  # total momentum before collision
p_nach = m1*u1 + m2*u2  # total momentum after collision
cat(paste("p_vor =", signif(p_vor,4) , " p_nach =", signif(p_nach, 4),"\n"))
## p_vor = -3  p_nach = -3

Und für die kinetische Energie:

W_vor = m1/2*v1^2 + m2/2*v2^2  # total kinetic energy before collision
W_nach = m1/2*u1^2 + m2/2*u2^2 # total kinetic energy after collision
cat(paste("W_vor =", signif(W_vor,4) , " W_nach =", signif(W_nach, 4),"\n"))
## W_vor = 13.5  W_nach = 13.5

Das scheint in Ordnung zu sein.


Beispiel: Rückstoß beim Bogenschießen:

Ein Pfeil mit der Masse \(150 \; g\) wird von einem Bogen abgeschossen. Der Pfeil erreicht eine Geschwindigkeit von \(25 \; m/s\). Der Bogen hat eine Masse von \(1200 \; g\). Wie groß ist die Rückstoßgeschwindigkeit des Bogens?

Der Gesamtimpuls ist vor dem Schuss Null, also auch danach. Wir haben wieder:

\[ \begin{align*} & m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = 0 \\[10pt] \longrightarrow \hspace{0.5cm}& v_2 = - \frac{m_1}{m_2} \cdot v_1 = - \frac{0.15}{1.2} \cdot 25 \; m/s = - 3.125 \; m/s \end{align*} \]


Elastischer und inelastischer Stoß

Bei jeder Art von Stößen gilt der Impulserhaltungssatz. Natürlich gilt auch hier der Energieerhaltungssatz; allerdings muss beachtet werden, dass beim inelastischen Stoß ein Teil der kinetischen Energie in andere Energiearten (Verformungsenergie, Wärmeenergie) umgewandelt werden kann.

Beim vollkommen unelastischen Stoß bewegen sich die Körper nach dem Stoß mit gleicher Geschwindigkeit in die gleiche Richtung, sie bilden einen zusammenhängenden Körper der Masse \(M = m_1 + m_2\) mit der gemeinsamen Geschwindigkeit \(v\). Dies ist der charakteristische Unterschied zum elastischen Stoß.

Impulserhaltung resultiert hier also in der Gleichung:

\[ \begin{align*} p_{vor} &= p_{nach} \\[4pt] m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 &= \left( m_1 + m_2 \right) \cdot v \end{align*} \]

also ist

\[ v = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{ m_1 + m_2} \] die gemeinsame Endgeschwindigkeit.

Beispiel: Vollkommen unelastischer Zusammenstoß zweier Kugeln:

Eine Kugel der Masse \(m_1 = 5 \; kg\) bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_1 = 1 \; m/s\) nach rechts. Sie trifft unelastisch auf eine zweite Kugel der Masse \(m_2 = 1 \; kg\), die sich mit der Geschwindigkeit \(v_2 = - 2 \; m/s\) nach links bewegt. Wie groß ist die gemeinsame Geschwindigkeit beider Kugeln nach dem Stoß ?

\[ v = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2}{ m_1 + m_2} = \frac{5 \cdot 1 - 1 \cdot 2}{ 5 + 1} \; m/s = 0.5 \; m/s \] Die Kugeln bewegen sich also mit \(v = 0.5 \; m/s\) nach rechts.

Beim unelastischen Stoß wird kinetische Energie in andere Energieformen umgewandelt (Wärmeenergie, Verformungsenergie). Der Verlust an kinetischer Energie im obigen Beispiel ist:

\[ \Delta E_{kin} = \frac{m_1}{2} \cdot v_1^2 + \frac{m_2}{2} \cdot v_2^2 - \frac{m_1 + m_2}{2} \cdot v^2 = \frac{5}{2} \cdot 1^2 + \frac{1}{2} \cdot 2^2 - \frac{6}{2} \cdot 0.5^2 = \frac{15}{4} \; Joule \] (Beachte wieder \(kg \cdot m^2 / s^2 = Nm = Joule\))


Raketengleichung

Dieser Abschnitt ist optional.

Wir haben bisher immer vorausgesetzt, dass die Masse der sich bewegenden Körper konstant bleibt. Das ist bei einer Rakete nicht der Fall, denn diese verliert durch das Abbrennen von Treibstoff kontinuierlich an Masse. Zum Zeitpunkt \(t_0=0\) ist die Masse \(m_0\) (Endstufe + Treibstoff), während am Ende der Brenndauer (Zeit \(t_e\)) nur noch die Masse der Endstufe \(m_e\) vorhanden ist:

Die Rakete wird durch das Rückstoßprinzip angetrieben. Die mit hoher Geschwindigkeit austretenden Brennstoffe übertragen einen Impuls auf die Rakete und beschleunigen diese in die entgegengesetzte Richtung. (Analogie: Eine Eisläuferin stößt einen Gegenstand von sich - sie wird in die entgegengesetzte Richtung beschleunigt.).

Der Impulsübertrag beim Ausstoß eines infinitesimal kleinen Massenelementes \(dm\) ist \(dp = dm \cdot v_{rel}\), wobei \(v_{rel}\) die Relativgeschwindigkeit zwischen Brennstoff und Rakete ist. Diese Geschwindigkeit kann über die gesamte Brenndauer als konstant angesehen werden. Der Impulsübertrag pro Zeiteinheit ist gleich der auf die Rakete wirkende Kraft (“Schubkraft”):

\[ F_{schub} = -\frac{dp}{dt} = -\frac{dm}{dt}\cdot v_{rel} \] Wir setzen das Minuszeichen, da \(dm/dt\) negativ ist (Masse der Rakete nimmt zeitlich ab) und die Schubkraft nach oben zeigt. Wir haben also \(F_{schub} > 0\).

Wir benutzen jetzt das 2. Newtonsche Axiom, um die Beschleunigung der Rakete zu berechnen. Die beteiligten Kräfte sind

Somit haben wir:

\[ m \cdot a = F_{schub} - F_g = -\frac{dm}{dt}\cdot v_{rel} - m \cdot g \hspace{2cm} (7) \]

Der erste Term auf der rechten Seite ist positiv, der zweite negativ. Wir müssen immer im Auge behalten, dass \(m\) zeitabhängig ist. Die Erdbeschleunigung kann dagegen bis in Höhen von einigen hundert Kilometern als ungefähr konstant angesehen werden (\(g \approx 9.81 \;m/s^2\)). Außerdem haben wir in (7) den Luftwiderstand vernachlässigt.

Wir formen nun Gleichung (7) um, setzen zunächst noch \(a = dv/dt\):

\[ \begin{align*} m \cdot \frac{dv}{dt} &= -\frac{dm}{dt}\cdot v_{rel} - m \cdot g \hspace{1cm} | \; :m \\ \frac{dv}{dt} &= - \frac{1}{m} \frac{dm}{dt}\cdot v_{rel} - g \hspace{1.1cm} | \; \cdot dt \\ dv &= - \frac{dm}{m} \cdot v_{rel} - g \cdot dt \end{align*} \] Wir integrieren auf der linken Seit von \(v_0\) bis \(v\) , auf der rechten Seite vom \(m_0\) bis \(m\) bzw. von \(t_0=0\) bis \(t\) (und benennen daher wie immer die Integrationsvariablen um):

\[ \int_{v_0}^v dv^\prime = -v_{rel} \cdot \int_{m_0}^m \frac{1}{m^\prime} \; dm^\prime - g \cdot \int_{0}^t dt^\prime \]

(\(v_0\) ist nicht unbedingt Null, da die Erdrotation ausgenutzt werden kann, um eine Anfangsgeschwindigkeit zu erreichen.)

Wir erhalten:

\[ \begin{align*} v - v_0 &= -v_{rel} \cdot \left( \ln{m} - \ln{m_0}\right) - g \cdot t \\ v &= v_0 - v_{rel} \cdot \ln \frac{m}{m_0} - g \cdot t \\ v &= v_0 + v_{rel} \cdot \ln \frac{m_0}{m} - g \cdot t \end{align*} \]

(\(\ln \frac{m_0}{m} > 0\) da \(m_0 > m\)).

Diese Gleichung ist keine explizite Formel für \(v(t)\), da auf der rechten Seite ja immer noch \(m\) steht, das selbst in unbekannter Weise von \(t\) abhängt. Wir können aber die Endgeschwindigkeit der Rakte berechnen. Am Ende der Brenndauer ist \(m = m_e\), \(t = t_e\) und \(v = v_e\):

\[ v_e = v_0 + v_{rel} \cdot \ln \frac{m_0}{m_e} - g \cdot t_e \hspace{2cm} (8) \] Dies ist die Raketengrundgleichung.
In (8) sind alle Größen auf der rechten Seite bekannt. Die technischen Parameter \(v_{rel}\), \(m_0\), \(m_e\) sowie die Brenndauer \(t_e\) bestimmen also die Endgeschwindigkeit der Rakete. Um die Erde zu verlassen, muss \(v_e = 11.2 \; km/s\) sein (Fluchtgeschwindigkeit).


Anhang

Manchmal gibt es Irritationen bezüglich der formalen Integration, die z.B. von Gleichung (2) zu Gleichung (4) führt.

Wir starten hier noch einmal mit

\[ \frac{dp}{dt} = F \]

(Wir betrachten hier nur eine Komponente des Vectors \(\vec{p}\), um die Schreibweise zu vereinfachen. Alle 3 Komponenten können unabhängig voneinander auf die gleiche Weise behandelt werden.)

Wir multiplizieren beide Seiten der obigen Gleichung mit \(dt\):

\[ dp = F \cdot dt \]

Wir integrieren auf der linken Seiten von \(p_1\) bis \(p_2\) und auf der rechten Seite von \(t_1\) bis \(t_2\):

\[ \int_{p_1}^{p_2} dp = \int_{t_1}^{t_2} F \cdot dt \]

Die linke Seite ergibt:

\[ \int_{p_1}^{p_2} dp = \int_{p_1}^{p_2} 1 \cdot dp = \Big[ p \Big]^{p_2}_{p_1} = p_2 - p_1 \]

Hier wurde nur benutzt, dass das Integral von 1 gleich \(p\) ist (wenn über \(dp\) integriert wird). Wenn wir nun \(\Delta p = p_2 - p_1\) definieren, landen wir bei:

\[ \Delta p = \int_{t_1}^{t_2} F \cdot dt \]

Wenn die Kraft nicht von \(t\) abhängt, können wir \(F\) aus dem Integral herausziehen, so dass wieder nur das Integral über 1 nach \(dt\) ausgewertet werden muss:

\[ \int_{t_1}^{t_2} dt = \int_{t_1}^{t_2} 1 \cdot dt = \Big[ t \Big]^{t_2}_{t_1} = t_2 - t_1 \] Wir bekommen also, wenn wir \(\Delta t = t_2 - t_1\) definieren:

\[ \Delta p = F \cdot \Delta t \]


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