Die Newtonschen Axiome

Diese finden wir bei Wikipedia:

  1. Trägheitssatz: Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. \[\\[0.01cm]\]

  2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Es zählt die (vektorielle) Summe aller angreifenden Kräfte:

\[ \vec{F} = m \cdot \vec{a} \\[0.01cm] \]

  1. Kraft gleich Gegenkraft: Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher:

\[ \vec{F}_{A \to B} = -\vec{F}_{B\to A} \]

Das 2. Newtonsche Axiom

Dies ist wahrscheinlich das am meisten angewendete Newtonsche Axiom.

Wenn auf eine Körper der Masse \(m\) die Kraft \(\vec{F}\) wirkt, so erfährt dieser die Beschleunigung

\[ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} \]

Kraft und Beschleunigung haben die gleiche Richtung. Je größer die Kraft, desto größer die Beschleunigung. Je größer die Masse, desto kleiner die Beschleunigung.


Gewichtskraft: \(F = m \cdot g\)

Nahe der Erdoberfläche ist die Gewichtskraft unabhängig von der Höhe, also (ungefähr) konstant. Wir können daher relativ einfach die Arbeit berechnen, die beim Heben eines Körpers vom Punkt Null auf die Höhe \(h\) aufgewendet wird. Wir beginnen trotzdem mit der allgemeinen Definition der mechanischen Arbeit:

\[ W = \int_0^h F(s) \; ds = \int_0^h m \cdot g \; ds = m \cdot g \cdot \int_0^h ds = m \cdot g \cdot h \]


Federkraft: \(F = - k \cdot \Delta x\)

Federpendel

Federpendel

\[ \begin{align*} m \cdot a &= F \\[4pt] m \cdot \ddot{x} &= -k \cdot x \\[3pt] \ddot{x} &= - \frac{k}{m} \cdot x \hspace{3.4cm} (1) \end{align*} \] Diese Differentialgleichung lässt sich mit den Ansatz \(x = x_0 \cdot \cos{(\omega \cdot t)}\) lösen. Hier ist bereits die Anfangsbedingung \(x(0) = x_0\) implizit enthalten. Die noch unbekannte Größe \(\omega\) wird nun durch Einsetzen des Ansatzes in die Differentialgleichung ermittelt:

\[ \begin{align*} x &= x_0 \cdot \cos{(\omega \cdot t)} \hspace{3.2cm} (2) \\[4pt] \dot{x} &= - \omega \cdot x_0 \cdot \sin{(\omega \cdot t)} \\[3pt] \ddot{x} &= - \omega^2 \cdot x_0 \cdot \cos{(\omega \cdot t)} \hspace{2cm} (3) \end{align*} \]

Mit den Ausdrücken (2) bzw. (3) wird Gleichung (1) zu:

\[ \begin{align*} - \omega^2 \cdot x_0 \cdot \cos{(\omega \cdot t)} &= - \frac{k}{m} \cdot x_0 \cdot \cos{(\omega \cdot t)} \hspace{1cm} \text{kürzen} \\[4pt] \omega^2 &= \frac{k}{m} \\[4pt] \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \end{align*} \]

Damit lautet die Lösung:

\[ x(t) = x_0 \cdot \cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t \right)} \hspace{2cm} (4) \]

Dies ist eine periodische Schwingung mit der Periode:

\[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}} \]

Durch Differentiation von (4) erhalten wir die Geschwindigkeit \(v(t)\) in Abhängigkeit von der Zeit:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} \left[ x_0 \cdot \cos{\left(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t \right)} \right] = - x_0 \cdot \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \sin{\left(\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot t \right)} \]

m = 2                                                  # mass
k = 4                                                  # spring constant
x0 = 5                                                 # initial displacement
t = seq(0, 4*pi, length = 201)                         # time vector
omega = sqrt(k/m)                                      # angular frequency
xt <- function(t, x0, omega) {x0*cos(omega*t)}         # displacement over time
vt <- function(t, x0, omega) {-x0*omega*sin(omega*t)}  # velocity over time
df = data.frame(t=t, x = xt(t, x0, omega), v = vt(t, x0, omega))
head(df)
##            t        x         v
## 1 0.00000000 5.000000  0.000000
## 2 0.06283185 4.980274 -0.627492
## 3 0.12566371 4.921251 -1.250033
## 4 0.18849556 4.823397 -1.862710
## 5 0.25132741 4.687484 -2.460690
## 6 0.31415927 4.514584 -3.039254
matplot(df[,1], df[,2:3], main = "Velocity and displacement", font.main = 1, 
        xlab = "t", ylab = "x(t) and v(t)", col = c("red", "blue"), type = "l", lwd = 1.5, lty = 1)
legend(x=0.5,y=7.5, c("x(t)", "v(t)"), col = c("red", "blue"), lty = 1, lwd = 2)

Die Bewegungsgleichung für das Mathematische Pendel (für kleine Auslenkungen) ist ein anderes Beispiel für eine Differentialgleichung, deren Lösung eine harmonische Schwingung ergibt.


Superposition der Kräfte

Im 2. Newtonschen Axiom ist \(\vec{F}\) die (vektorielle) Summe aller auf den Körper wirkenden Kräfte.

VektoradditionVektoraddition

Vektoraddition


Das 3. Newtonsche Axiom

Das 3. Newtonsche Axiom bezieht sich auf zwei Körper, die miteinander in Wechselwirkung treten. Eine Kraft von Körper A auf Körper B geht immer mit einer gleich großen, aber entgegen gerichteten Kraft von Körper B auf Körper A einher (Wikipedia). Hier einige Beispiele:


uwe.menzel@matstat.org