Der schräge Wurf
Zeitliche Abhängigkeit der Koordinaten
Der schräge Wurf wurde ausführlich hier behandelt. Es gibt natürlich auch einen Wikipedia-Artikel. Hier wird nur noch einmal an die wichtigsten Zusammenhänge erinnert.
Nach dem Abwurf wirkt auf den Körper nur eine Kraft, die Erdanziehung \(F = m \cdot g\) senkrecht nach unten. Dadurch erfährt er eine konstante Beschleunigung in Richtung Erde (negative \(y\)-Achse) währenddessen die Beschleunigung in \(x\)-Richtung Null ist. Daraus ergeben sich für die \(x\) und \(y\)-Koordinaten in Abhängigkeit von der Zeit:
\[ \begin{align*} y &= -\frac{g}{2} t^2 + v_{0y} \cdot t + y_0 \\ x &= v_{0x}\cdot t +x_0 \hspace{3cm} \text{(1)} \end{align*} \]
Dabei wurde die Anfanfangsgescheindigkeit \(v_0\) in die Komponenten \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos{\alpha}\) und \(v_{0y}= v_0 \cdot \sin{\alpha}\) zerlegt:
In Gleichung (1) wurde angenommen, dass der Abwurf bei \(t=0\) erfolgt, und zwar von der Position \((x_0, y_0)\). Im Folgenden soll \(x_0=0\) gelten, während die Anfangshöhe \(y_0\) beliebig ist:
Bahnkurve
Aus den letzten beiden Gleichungen (1) kann die Bahnkurve - also die Beziehung \(y(x)\) - berechnet werden, indem die Zeit eliminiert wird. Mit \(x_0=0\) folgt aus der zweiten Gleichung \(t = x/v_{0x}\). Dies in die erste Gleichung eingesetzt ergibt die Bahnkurve:
\[ y = -\frac{g}{2} \frac{x^2}{v_{0x}^2} + v_{0y} \cdot \frac{x}{v_{0x}} + y_0 \hspace{1cm} \text{(2)} \] Es ist jedoch eleganter, die Bahnkurve mit Hilfe der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) und des Abwurfwinkels \(\alpha\) auszudrücken. Wir verwenden dazu \(v_{0x} = v_{0} \cdot \cos{\alpha}\) und \(\tan{\alpha} = v_{0y}/v_{0x}\) und bekommen:
\[ y = -\frac{g}{2} \frac{x^2}{v_{0}^2 \cos^2{\alpha}} + \tan{\alpha} \cdot x + y_0 \hspace{1cm} \text{(3)} \]
Wurfdauer
Der Wurf endet wenn \(y=0\) (Erdoberfläche). Wir setzen also in der ersten Gleichung von (1) \(y=0\) und lösen nach \(t\) auf, um die Dauer des Wurfes zu berechnen. Es ensteht eine quadratische Gleichung für \(t\) deren (positive) Lösung lautet:
\[ t_w = \frac{v_{0y}}{g} + \sqrt{\frac{v_{0y}^2}{g^2}+ \frac{2 y_0}{g}} \hspace{1cm} \text{(4)} \]
\(\hspace{1cm}\) Spezialfall: \(y_0=0\) (Wurf von der Erdoberfläche): Damit vereinfacht sich Gleichung (4):
\[ t_w = \frac{2 \cdot v_{0y}}{g} = \frac{2 }{g} \cdot v_0 \cdot \sin{\alpha} \hspace{1cm} \text{(4a)} \]
Wurweite
Die Wurweite \(x_w\) ergibt sich nun aus dem 2. Teil der Gleichung (1) (mit \(t=t_w\) und \(x_0=0\)):
\[ x_w = v_{0x} \cdot t_w = v_{0} \cdot \cos{\alpha} \cdot t_w \hspace{3cm} (5) \] \(\hspace{1cm}\) Spezialfall: \(y_0=0\) (Wurf von der Erdoberfläche). Damit wird die Wurfweite mit \(t_w\) aus Gleichung (4a):
\[ x_w = v_{0x} \cdot t_w = v_{0} \cdot \cos{\alpha} \cdot \frac{2 }{g} \cdot v_0 \cdot \sin{\alpha} = \frac{v_0^2 }{g} \cdot \sin{2\alpha} \hspace{3cm} (5a) \]
wobei wir \(2\cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha} = \sin{2 \alpha}\) benutzt haben (siehe Wikipedia.)
Maximale Höhe
Die maximale Höhe kann z.B. aus der Bahngleichung (3) ermittelt werden. Wir suchen das Maximum der Kurve, müssen also \(\frac{dy}{dx}=0\) setzen. Aus (3) folgt:
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{g}{v_0^2 \cdot \cos^2{\alpha}} \cdot x + \tan{\alpha} = 0 \]
Daraus ergibt sich für \(x\), also für die horizontale Position, bei der die größte Höhe erreicht wird
\[ x_{max} = \frac{v_0^2}{2g} \cdot \sin{2\alpha} \hspace{1cm} \text{(6)} \]
Die maximale Höhe der Bahnkurve ist der dazugehörige \(y\)-Wert, der durch Einsetzen von \(x_{max}\) in die Bahnkurve (3) berechnet wird:
\[ y_{max} = \frac{v_0^2}{2g} \cdot \sin^2{\alpha} + y_0 \hspace{1cm} \text{(7)} \]
Steigzeit
Die Steigzeit \(t_{max}\) ist die Dauer bis zum Erreichen der maximalen Höhe. Zur Berechnung kann der Zusammenhang \(x=v_{0x} \cdot t\) aus Gleichung (1) benutzt werden. Wir kennen aus Gleichung (6) bereits die \(x\)-Koordinate, bei der die maximale Höhe erreicht wird. Daher beträgt die Steigzeit
\[ t_{max} = \frac{x_{max}}{v_{0x}} = \frac{v_0^2}{2g} \cdot \sin{2\alpha} \cdot \frac{1}{v_0 \cdot \cos{\alpha}} = \frac{v_0}{g} \cdot \sin{\alpha} \hspace{1cm} \text{(8)} \]
( \(\sin{2 \alpha} = 2 \cdot \cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha}\) )