Hauptachsentransformation
Uwe Menzel
2022-12-22
Warum Hauptachsentransformation ?
Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes (Ellipse, Hyperbel, Parabel) im \(ℝ^2\) lautet:
\[ax^2+ bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0
\tag{1} \]
Die Parameter \(a, b, c, d, e\) sind
hier reelle Zahlen. Das Verhältnis dieser Parameter bestimmt, ob eine
Ellipse, eine Parabel oder eine Hyperbel vorliegt. Eine Ellipse ergibt
sich zum Beispiel wenn \(b^2 - 4ac <
0\) ist.
Die ersten drei Terme \(ax^2+ bxy
+cy^2\) bilden den sogenannten quadratischen
Teil der Kegelschnittsgleichung.
Der Term \(bxy\) bewirkt, dass der Kegelschnitt schief im Koordinatensystem liegt, wie auf dem linken Bild.
Bei der Hauptachsentransformation wird eine Koordinatentransformation durchgeführt, so dass der Term \(bxy\) verschwindet. Der Kegelschnitt befindet sich dann in Normallage, so wie auf dem rechten Bild:
Ellipse vor und nach Koordinatentransformation
Etwas Theorie
Die Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes (Gleichung 1) im \(ℝ^2\) kann auch in Matrixform geschrieben werden:
\[ \begin{gather*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + dx + ey +f = 0 \end{gather*} \tag{2} \]
Mit den Bezeichnungen:
\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} \hspace{0.8cm} \text{und} \hspace{1cm} \boldsymbol{x}= \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \]
wird die obige Gleichung:
\[
\boldsymbol{x}^T
\cdot \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{x} + dx + ey + f = 0 \tag{3}
\]
Die Matrix \(\boldsymbol{A}\) ist reell und symmetrisch und kann daher diagonalisiert werden, d. h. sie kann auf folgende Weise in ein Produkt von drei Matrizen zerlegt werden:
\[\begin{equation} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{V}^T \tag{4} \end{equation}\]
Dabei ist \(𝑬=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\) eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) von \(\boldsymbol{𝑨}\). \(\boldsymbol{V}\) ist eine Matrix, deren Spalten aus den normierten Eigenvektoren von \(\boldsymbol{A}\) gebildet werden. \(\boldsymbol{V}\) ist deshalb eine orthogonale Matrix. (Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal.)
Gleichung (3) wird mit der Zerlegung in Gleichung (4):
\[ \boldsymbol{x}^T \cdot \boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x} + dx + ey + f = 0 \tag{5} \]
Dies kann mit Hilfe der für Matrizen und Vektoren allgemein gültigen Regel \(\left(\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{x}\right)^T = \boldsymbol{x}^T \cdot \boldsymbol{B}^T\) so umgeformt werden:
\[ \left( \boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x} \right)^T \boldsymbol{E} \cdot \left( \boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x} \right) + dx + ey + f = 0 \tag{6} \]
Wir können nun folgende Koordinatentransformation durchführen:
\[\hat{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x} \tag{7}\]
Die Umkehrtransformation lautet:
\[\boldsymbol{x} = \left( \boldsymbol{V}^T \right)^{-1} \hat{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{x}} \tag{8} \]
Anmerkung: Es ist \(\left( \boldsymbol{V}^T \right)^{-1} = \boldsymbol{V}\) da für orthogonale Matrizen allgemein \(\boldsymbol{V}^T=\boldsymbol{V}^{-1}\) gilt. Mehr über orthogonale Matrizen bei Wikipedia.
Mit der Transformation in (8) wird die Gleichung für den Kegelschnitt
im neuen Koordinatensystem ( siehe Anhang):
\[ \hat{\boldsymbol{x}}^T \cdot
\boldsymbol{E} \cdot\hat{\boldsymbol{x}} + \left(d \cdot V_{11} + e
\cdot V_{21}\right)\cdot \hat{x} + \left(d \cdot V_{12} + e \cdot
V_{22}\right)\cdot \hat{y} + f = 0 \tag{9}\]
Bemerkung: Bitte den Unterschied zwischen \(\boldsymbol{x}\) und \(x\) beachten. Das fett gedruckte \(\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\) ist ein Vektor, der aus den Komponenten \(x\) und \(y\) besteht. Das gleiche gilt für \(\hat{\boldsymbol{x}}\). Es gilt \(\hat{\boldsymbol{x}} = \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix}\)
Die letzte Gleichung kann auch als
\[ \hat{\boldsymbol{x}}^T \cdot \boldsymbol{E} \cdot\hat{\boldsymbol{x}} + \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_{11} \\ V_{21} \end{pmatrix} \cdot \hat{x} + \begin{pmatrix} d & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} V_{12} \\ V_{22} \end{pmatrix} \cdot \hat{y} + f = 0 \]
geschrieben werden. Die Spaltenvektoren \(\begin{pmatrix} V_{11} \\ V_{21} \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} V_{12} \\ V_{22} \end{pmatrix}\) sind genau die normierten Eigenvektoren der Matrix \(\boldsymbol{A}\).
Das Wichtigste ist jedoch der quadratische Term \(\hat{\boldsymbol{x}}^T \cdot \boldsymbol{E} \cdot\hat{\boldsymbol{x}}\). Da \(\boldsymbol{E}\) eine Diagonalmatrix ist, fehlt nun der \(\hat{\boldsymbol{x}} \cdot \hat{\boldsymbol{y}}\) - Term in der Kegelschnittsgleichung. Ausmultiplizieren des quadratischen Terms ergibt nämlich
\[ \hat{\boldsymbol{x}}^T \cdot \boldsymbol{E} \cdot\hat{\boldsymbol{x}} = \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} = \lambda_1 \cdot \hat{x}^2 + \lambda_2 \cdot \hat{y}^2 \]
Die Gleichung des Kegelschnittes in den neuen Koordinaten lautet demnach:
\[ \lambda_1 \cdot \hat{x}^2 + \lambda_2 \cdot \hat{y}^2 + \left(d \cdot V_{11} + e \cdot V_{21}\right)\cdot \hat{x} + \left(d \cdot V_{12} + e \cdot V_{22}\right)\cdot \hat{y} + f = 0 \tag{10}\] (Alle Variablen in dieser Gleichung sind Skalare.)
Der gemischte Term \(bxy\) ist also tatsächlich verschwunden.
Die linearen Terme \(\left(d \cdot V_{11} + e \cdot V_{21}\right)\cdot \hat{x} + \left(d \cdot V_{12} + e \cdot V_{22}\right)\cdot \hat{y}\) können, wenn gewünscht, durch eine zweite Koordinatentransformation (quadratische Ergänzung, siehe Anhang) eliminiert werden.
Ein Beispiel
Den quadratischen Teil der Kegelschnittsgleichung in Matrixform bringen
Die Gleichung eines Kegelschnittes sei:
\[3x^2 +4xy+3y^2 -9 = 0 \tag{11}\]
Es ist also \(a=3\), \(b=4\), \(c=3\) und \(f=-9\) (siehe Gleichung (1) oben). Es handelt sich um eine Ellipse, denn \(b^2 - 4ac = 16 - 36 < 0\).
Wir können nun folgende Matrix definieren:
\[ \boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \tag{12} \]
Mit dieser Definition lässt sich der quadratische Teil umformen und die Gleichung (11) wie folgt schreiben:
\[ \begin{gather*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} -9 = 0 \end{gather*} \tag{13} \]
Bei der Hauptachsentransformation muss eine Koordinatentransformation gefunden werden die den Term \(4xy\) in Gleichung (11) verschwinden lässt, denn dieser Term bewirkt die Schieflage der Ellipse im Koordinatensystem. Dazu kann die Matrix \(\boldsymbol{A}\) in ein Produkt von drei Matrizen zerlegt werden:
\[ \boldsymbol{A} = \boldsymbol{V} \cdot \boldsymbol{E} \cdot \boldsymbol{V}^T \tag{14} \]
Dabei ist \(\boldsymbol{E} =\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}\) eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) von \(\boldsymbol{𝑨}\), und \(\boldsymbol{V}\) ist eine Matrix, deren Spalten aus den normierten Eigenvektoren von \(\boldsymbol{𝑨}\) gebildet werden. Die obige Zerlegung ist möglich, da \(\boldsymbol{A}\) reell und symmetrisch ist.
Wir müssen also zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren von \(\boldsymbol{𝑨}\) finden.
Berechnung der Eigenwerte der Matrix
Die Eigenwerte ergeben sich aus der Forderung, dass die Determinante der Matrix \(\boldsymbol{A} - \lambda \cdot \boldsymbol{I}\) verschwindet. Dabei ist \(\boldsymbol{I}\) die Einheitsmatrix. Es ergibt sich folgende Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte \(\lambda\) :
\[ \det \left( \boldsymbol{A} - \lambda \cdot \boldsymbol{I} \right) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 \\ 2 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = \left( 3 - \lambda \right)^2 - 4 = 0 \tag{15} \]
Das sogenannte charakteristische Polynom wird Null wenn \(3 − \lambda = 2\) oder wenn \(3 − \lambda = −2\) , also ergibt sich für die Eigenwerte von \(\boldsymbol{A}\):
\[ \lambda_1 = 5 \quad \text{und} \quad \lambda_2 = 1 \]
Damit haben wir bereits die Matrix \(\boldsymbol{E}\):
\[ \boldsymbol{E} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \tag{16} \]
Berechnung der normierten Eigenvektoren der Matrix
Die Eigenvektoren werden aus den Gleichungen \(\left( \boldsymbol{A} - \lambda_i \cdot \boldsymbol{I} \right) \cdot \boldsymbol{x} = 0\) für \(i = 1,2\) berechnet.
Für \(\lambda_1 = 5\) wird das:
\[ \left( \boldsymbol{A} - \lambda_1 \cdot \boldsymbol{I} \right) \cdot \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{17} \]
Der Rang der Koeffizientenmatrix in Gleichung (17) ist 1 (wir sehen ja, dass sich die Gleichungen nur um eine Faktor unterscheiden …), d.h. die Gleichung ist unterbestimmt. Wir parametrisieren daher \(x_2 = t\) und erhalten aus der ersten Gleichung \(x_1 = t\). Die Eigenvektoren haben also die Form
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{18} \] Der normierte Eigenvektor wird aus der Gleichung
\[ || \boldsymbol{x} || = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = 1 \tag{19} \] bestimmt. Dies führt zu \(\sqrt{t^2 + t^2} = 1\), also ist \(t = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Der normierte Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_1 = 5\) ist daher:
\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{pmatrix}
= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} \tag{20}
\]
Aus \(\lambda_2 = 1\) bekommen wir:
\[ \left( \boldsymbol{A} - \lambda_2 \cdot \boldsymbol{I} \right) \cdot \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \tag{21} \]
Die Gleichung ist natürlich wieder unterbestimmt, denn wir hatten ja oben (Gleichung (15)) gefordert, dass die Determinante Null wird. Wir parametrisieren daher wieder \(x_2 = t\) und erhalten aus der ersten Gleichung \(x_1 = -t\). Die Eigenvektoren haben also die Form
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{22} \]
Der normierte Eigenvektor wird wieder aus Gleichung (19) bestimmt. Das ergibt diesmal \(\sqrt{ (-t)^2 + t^2} = 1\), also ist auch hier \(t = \frac{1}{\sqrt{2}}\).
Der normierte Eigenvektor zum Eigenwert \(\lambda_2 = 1\) ist daher:
\[ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \tag{23} \]
Formel für die Koordinatentransformation
Wir hatten gesagt, dass \(\boldsymbol{V}\) in Gleichung (14) eine Matrix ist, deren Spalten aus den normierten Eigenvektoren von \(\boldsymbol{A}\) gebildet werden. Mit (20) und (23) haben wir also:
\[ \boldsymbol{V} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \tag{24} \]
Die Transformation zu den neuen Koordinaten \(\hat{x}\) und \(\hat{y}\) lautet also:
\[ \hat{\boldsymbol{x}} = \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} = \boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \tag{25} \]
Die Umkehrtransformation lautet:
\[ \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} \tag{26} \]
Zur Erinnerung: Für orthogonale Matrizen gilt \(\boldsymbol{V}^{-1}=\boldsymbol{V}^T\).
Die Transformation braucht nicht explizit durchgeführt werden, denn aus der Theorie folgt, dass sich der quadratische Anteil zu \(\lambda_1 \cdot \hat{x}^2 + \lambda_2 \cdot \hat{y}^2\) umformt, so dass die Ellipsengleichung jetzt so aussieht:
\[ 5\hat{x}^2 + \hat{y}^2 -9 = 0 \tag{27} \] Dies entspricht dem rechten Bild in Abschnitt 1.
Die explizite Koordinatenransformation für dieses Beispiel wird im Anhang gezeigt.
Geometrische Deutung der Transformation
Die Transformationsmatrix
\[ \boldsymbol{V}^T = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \tag{28} \]
für die Transformation von alten zu neuen Koordinaten (\(\hat{\boldsymbol{x}} = \boldsymbol{V}^T \cdot \boldsymbol{x}\)) hat die allgemeine Form:
\[ \boldsymbol{V}_{\alpha} = \begin{pmatrix} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha}\\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{pmatrix} \tag{29} \] \(\boldsymbol{V}_{\alpha}\) ist eine Drehmatrix, die in einem zweidimensionalen Kartesischen Koordinatensystem eine Drehung von Punkten oder Vektoren um den Winkel \(\alpha\) realisiert. Man beachte, dass der Winkel im mathematisch positiven Drehsinn gemessen wird, also entgegengesetzt der Uhrzeigerrichtung.
Die Matrix \(\boldsymbol{V}_{\alpha}\) ergibt für \(\alpha = -45^\circ\)
\[ \boldsymbol{V}_{\alpha} = \begin{bmatrix} \cos{(-\frac{\pi}{4})} & -\sin{(-\frac{\pi}{4})}\\ \sin{(-\frac{\pi}{4})} & \cos{(-\frac{\pi}{4})} \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \tag{30} \]
also genau unsere Transformationsmatrix.
Die von uns berechnete Transformation beschreibt also eine Drehung der Ellipse um \(-45^\circ\) (also \(45^\circ\) im Uhrzeigersinn) relativ zum Koordinatensystem, was mit der Abbildung in Abschnitt 1 übereinstimmt. Man beachte jedoch, dass eigentlich nicht die Ellipse, sondern das Koordinatensystem (durch die Transformation in Gl. 7) gedreht wird.
Ein Beispiel mit R
Wir definieren zunächst eine Funktion zum Zeichnen einer Ellipse:
draw.ellipse <- function(a, b, c, d, e, f, points = 1000) {
A = matrix(c(a, b/2, b/2, c), byrow = TRUE, nrow = 2)
mu = solve(A, c(-d/2, -e/2))
r = sqrt(a*mu[1]^2+ b*mu[1]*mu[2] + c*mu[2]^2 - f)
theta = seq(0, 2*pi, length = points)
circle = rbind(r*cos(theta), r*sin(theta))
z = backsolve(chol(A), circle) + mu
plot(t(z), type = "l", xlab = "", ylab="", asp = 1)
}(Die Funktion ist eine leicht modifizierte Version von Zheyuan Li’s Funktion.)
Die Ellipse aus unserem Beispiel hat vor der Transformation das folgende Aussehen:
draw.ellipse(a=3, b=4, c=3, d=0, e=0, f=-9)
abline(h=0, lty=2, col="darkgrey")
abline(v=0, lty=2, col="darkgrey")
(vergleiche mit dem Bild ganz am Anfang.)
Für die den quadratischen Term beschreibende Matrix hatte wir erhalten:
A = matrix(c(3, 2, 2, 3), byrow = TRUE, nrow = 2)
A## [,1] [,2]
## [1,] 3 2
## [2,] 2 3Um die Gleichung in den transformierten Koordinaten zu finden, brauchen wir die Eigenwerte der Matrix \(\boldsymbol{A}\):
eig <- eigen(A)
eigenwerte = eig$values
eigenwerte## [1] 5 1Es ist also \(\lambda_1=5\) und \(\lambda_2=1\) wie schon oben erhalten, die transformierte Gleichung ist also \(5\hat{x}^2 + \hat{y}^2 -9 = 0\), mit \(a=5\) und \(c=1\).
Damit haben wir schon die Gleichung der Ellipse in den transformierten Koordinaten und können die Ellipse in diesem Koordinatensystem zeichnen:
draw.ellipse(a=5, b=0, c=1, d=0, e=0, f=-9)
abline(h=0, lty=2, col="darkgrey")
abline(v=0, lty=2, col="darkgrey")
Zur Vollständigkeit können auch noch die normierten Eigenvektoren angegeben werden:
eigenvektoren = eig$vectors
eigenvektoren## [,1] [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068 0.7071068Dieses Objekt ist identisch mit der Transformationsmatrix \(\boldsymbol{V}\):
V = eigenvektoren
V## [,1] [,2]
## [1,] 0.7071068 -0.7071068
## [2,] 0.7071068 0.7071068Anhang
Umrechnung der Terme \(dx + ey\)
Die Umkehrtransformation (Gl. 8) lautet \(\boldsymbol{x} = \boldsymbol{V} \hat{\boldsymbol{x}}\), also
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V_{11} & V_{12} \\ V_{21} & V_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} \]
Nach Ausmultiplizieren der rechten Seite erhalten wir:
\[ \begin{aligned} x &= V_{11} \cdot \hat{x} + V_{12} \cdot \hat{y} \\ y &= V_{21} \cdot \hat{x} + V_{22} \cdot \hat{y} \end{aligned} \]
Damit können wir den Term \(dx + ey\) berechnen:
\[ \begin{aligned} dx +ey &= d \cdot \left(V_{11} \cdot \hat{x} + V_{12} \cdot \hat{y} \right) + e \cdot \left( V_{21} \cdot \hat{x} + V_{22} \cdot \hat{y} \right) \\ &= \left( d \cdot V_{11} + e \cdot V_{12} \right) \cdot \hat{x} + \left(d \cdot V_{12} + e \cdot V_{22} \right) \cdot \hat{y} \end{aligned} \]
Eliminieren der linearen Terme der Kegelschnittsgleichung
Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes im \(ℝ^2\) lautet:
\[ax^2+ bxy +cy^2 + dx + ey + f = 0 \]
Wir nehmen hier jedoch an, dass der Term \(bxy\) bereits mit der oben beschriebenen Methode eliminiert wurde, so dass es reicht, die folgende Gleichung zu betrachten:
\[ax^2 +cy^2 + dx + ey + f = 0 \]
(Die Koordinaten in beiden Gleichungen sind nicht identisch, die 2. Gleichung folgt durch die oben beschriebene Transformation der Koordinaten aus der ersten. Der Einfachheit halber schreiben wir jedoch auch in der zweiten Gleichung nur \(x\) bzw. \(y\))
Die linearen Terme \(dx\) und \(dy\) in der letzten Gleichung können bei Bedarf durch quadratische Ergänzung eliminiert werden. Es ist
\[ \begin{aligned} ax^2 + dx &= a \cdot \left[ \left(x + \frac{d}{2a} \right)^2 -\frac{d^2}{4a^2} \right] &= a \cdot \left(x + \frac{d}{2a} \right)^2 - \frac{d^2}{4a} \\ \\ cy^2 + ey &= c \cdot \left[ \left(y + \frac{e}{2c} \right)^2 -\frac{e^2}{4c^2} \right] &= c \cdot \left(y + \frac{e}{2c} \right)^2 - \frac{e^2}{4c} \end{aligned} \] Damit wird die obige Gleichung:
\[ a \cdot \left(x + \frac{d}{2a} \right)^2 - \frac{d^2}{4a} + c \cdot \left(y + \frac{e}{2c} \right)^2 - \frac{e^2}{4c} + f = 0 \]
oder, anders geordnet:
\[ a \cdot \left(x + \frac{d}{2a} \right)^2 + c \cdot \left(y + \frac{e}{2c} \right)^2 + f - \frac{d^2}{4a} - \frac{e^2}{4c} = 0 \]
Durch die Substitutionen:
\[ \begin{aligned} \hat{x} &= x + \frac{d}{2a} \\ \hat{y} &= y + \frac{e}{2c} \\ \hat{f} &= f - \frac{d^2}{4a} - \frac{e^2}{4c} \end{aligned} \] wird die Gleichung des Kegelschnittes nun:
\[ a\hat{x}^2 + c\hat{y}^2 + \hat{f} = 0 \] Die linearen Terme sind also verschwunden.
Beispiel (Aufgabe übernommen von Wikipedia)
Die Kegelschnittsgleichung sei:
\[ 4x^2 + 9y^2 -8x +36y + 4 = 0\] also \(a=4\), \(b=0\), \(c=9\), \(d=-8\), \(e=36\) und \(f=4\).
Mit den oben erhaltenen Substitutionen
\[ \begin{aligned} \hat{x} &= x + \frac{d}{2a} = x - 1\\ \hat{y} &= y + \frac{e}{2c} = y + 2\\ \hat{f} &= f - \frac{d^2}{4a} - \frac{e^2}{4c} = -36 \end{aligned} \] geht die Gleichung über in
\[ a \hat{x}^2 + c \hat{y}^2 + \hat{f} = 0 \]
oder, mit den Koordinaten \(x\) und \(y\) ausgedrückt:
\[ 4 \left( x-1 \right)^2 + 9\left( y+2 \right)^2 -36 = 0 \] Durch Umformen erhält man die mehr gebräuchliche Form der Ellipsengleichung:
\[ \frac{\left( x-1 \right)^2}{9} + \frac{\left( y+2 \right)^2}{4} = 1 \]
Explizite Ausführung der Transformation
Wir hatten für unsere Ellipsengleichung
\[3x^2 +4xy+3y^2 -9 = 0 \tag{11}\] folgende Transformationsformel für die Koordinaten gefunden (Gleichung (26)):
\[ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} \tag{26} \]
Durch Ausmultiplizieren enstehen die beiden Gleichungen
\[ \begin{aligned} x &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} - \hat{y} \right) \\ y &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \hat{x} + \hat{y} \right) \end{aligned} \] Damit erhalten wir aus der ursprünglichen Gleichung durch Substitution von \(x\) und \(y\):
\[ \begin{aligned} 3x^2 +4xy+3y^2 - 9 &= \frac{3}{2} \cdot \left( \hat{x} - \hat{y} \right)^2 + \frac{3}{2} \cdot \left( \hat{x} + \hat{y} \right)^2 + \frac{4}{2} \cdot \left( \hat{x} - \hat{y} \right) \cdot \left( \hat{x} + \hat{y} \right) -9 \\ &= \frac{3}{2} \cdot \left( \hat{x}^2 + \hat{y}^2 - 2\hat{x}\hat{y}\right) + \frac{3}{2} \cdot \left( \hat{x}^2 + \hat{y}^2 + 2\hat{x}\hat{y}\right) + 2 \left( \hat{x}^2 - \hat{y}^2 \right) -9 \\ &= \frac{3}{2} \hat{x}^2 + \frac{3}{2} \hat{y}^2 -3\hat{x}\hat{y} + \frac{3}{2} \hat{x}^2 + \frac{3}{2} \hat{y}^2 + 3\hat{x}\hat{y} + 2\hat{x}^2 - 2\hat{y}^2 - 9 \\ &= 3 \hat{x}^2 + 2 \hat{x}^2 + 3\hat{y}^2 - 2\hat{y}^2 -9 \\ &= 5 \hat{x}^2 + \hat{y}^2 - 9 \end{aligned} \]
womit die Richtigkeit der Transformation bestätigt wird (vergleiche mit (27)).
Eigenschaften symmetrischer Matrizen
- Alle Eigenwerte symmetrischer Matrizen sind reell.
- Alle Eigenvektoren sind reell.
- Eigenvektoren sind zueinander orthogonal.
- Weil die Eigenvektoren orthogonal sind, ist auch die Matrix der normierten Eigenvektoren eine orthogonale Matrix.
- Mehr auf Wikipedia