1. Die Gleichung einer Ebene im 3-dimensionalen Raum


1.1. Definition mit Hilfe eines Normalenvektors und eines Punktes

Eine Ebene im 3-dimensionalen Raum kann durch den Normalenvektor und irgendeinen in der Ebenen liegenden Punkt eindeutig definiert werden. (Der Normalenvektor allein würde nicht reichen, da die Ebene in Richtung der Normale beliebig verschoben werden könnte.)


Sei \(\vec{r_0}\) der in der Ebene liegende Punkt und \(\vec{n}\) der Normalenvektor. Dann gilt für alle Punkte \(\vec{r}\) der Ebene

\[ \vec{n} \cdot \left( \vec{r} - \vec{r_0} \right) = 0 \] da der Normalenvektor senkrecht auf dem Verbindungsvektor zwischen \(\vec{r}\) und \(\vec{r_0}\) liegen muss und letzterer in der Ebene liegt. Mit den Bezeichnungen \(\vec{r_0} = (x_0, y_0, z_0)\), \(\vec{r} = (x, y, z)\) und \(\vec{n} = (a, b, c)\) wird die obige Gleichung in Koordinatenschrweibweise

\[ a \cdot (x - x_0) + b \cdot (y - y_0) + c \cdot (z - z_0) = 0 \] Für die letzte Gleichung kann man auch

\[ a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z = d \] schreiben, wenn die Abkürzung \(d = -(a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \cdot z_0 )\) benutzt wird. Mehr in diesem Wikipedia-Eintrag.


1.2. Definition mit Hilfe von 2 Basisvektoren und eines Punktes

Eine Alternative ist die Definition der Ebene mit Hilfe von 2 linear unabhängigen (also nicht parallelen) Basisvektoren \