Mechanische Arbeit und Energie
Mechanische Arbeit
Ein Körper wird unter Einsatz einer Kraft \(\vec{F}(\vec{r})\) längs eines Weges \(\vec{r}\) vom Punkt \(A\) zum Punkt \(B\) bewegt:
Dafür muss im allgemeinen Fall die folgende mechanische Arbeit verrichtet werden:
\[ W = \int_A^B \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} \hspace{2cm} (1) \]
Unter dem Integral steht das Skalarprodukt der Kraft \(\vec{F}\) und des Wegelementes \(d\vec{r}\). Zur mechanischen Arbeit trägt also auf jedem Wegelement nur die Komponente von \(\vec{F}\) in Richtung des Weges \(d\vec{r}\) bei. Diese Komponente hat den Betrag \(F_t = F \cdot \cos{\alpha}\), wobei \(\alpha\) der Winkel zwischen Kraftrichtung und Wegrichtung ist:
Gleichung (1) vereinfacht sich, wenn wir annehmen können, dass die Kraft immer in Richtung des zurückgelegten Weges zeigt. Es ist dann \(\vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} = F(\vec{r}) \cdot dr \cdot \cos{\alpha} = F(\vec{r}) \cdot dr\) (da überall \(\alpha=0\)) und wir verrichten daher bei Durchlaufen der Wegstrecke \(A \rightarrow B\) die mechanische Arbeit:
\[ W = \int_A^B F(\vec{r}) \; dr \hspace{2cm} (2) \] Hier ist \(F(\vec{r})\) der Betrag der Kraft.
Wenn außerdem die Kraft über die gesamte Weglänge \(s = \overrightarrow{AB}\) konstant ist, folgt daraus (siehe dieses Kapitel):
\[ W = F \cdot s \hspace{3.8cm} (3) \]
Die mechanische Arbeit ist in diesem Fall also einfach das Produkt der konstanten Kraft und der zurückgelegten Wegstrecke.
Die Maßeinheit der Arbeit ist \(\; Nm = kg \cdot m^2 / s^2 = Joule = Ws\).
Beispiel 1: Arbeit beim Auseinanderziehen eines Federpendels:
Ein Federpendel wird um die Strecke \(x\) aus seiner Ruhelage ausgelenkt. (Wir nennen die Ortsvariable jetzt \(x\), da die Bewegung eindimensional ist). Dabei wird mechanische Arbeit verrichtet, denn es muss gegen die Rückstellkraft der Feder gearbeitet werden, wir müssen zum Auseinanderziehen also die Kraft \(F = k \cdot x\) aufwenden.
Federpendel
Die aufzubringende Kraft zeigt in Richtung der Ausdehnung, also des zurückgelegten Weges (daher das positive Vorzeichen). Jedoch ist die Kraft nicht konstant, sondern sie vergrößert sich mit zunehmender Dehnung der Feder. Wir wenden also Gleichung (2) an:
\[ W(x) = \int_0^x F(x^\prime) \; dx^\prime = k \cdot \int_0^x x^\prime \; dx^\prime = k \cdot \left[ \frac{(x^\prime)^2}{2} \right]_{0}^x = k \cdot \frac{x^2}{2} \]
(Wir haben hier die Variablen unter dem Intergral in \(x^\prime\) umbenannt, um nicht mit der oberen Grenze durcheinander zu kommen. Außerdem wurde die Ruhelage mit \(x=0\) verknüpft.)
Diese aufgewendete Arbeit ist nun als potentielle Energie in der gedehnten Feder gespeichert. Diese wächst quadratisch mit der Auslenkung \(x\):
Um die Feder in der ausgedehnten Position zu halten, muss eine Kraft aufgewendet werden. Diese Kraft kann wiederum aus der potentiellen Energie berechnet werden. Die Kraft ist die negative räumliche Ableitung der potentiellen Energie (oder des Potentials, siehe unten):
\[ F(x) = - \frac{d}{dx} W(x) \hspace{2cm} (4) \]
Für das Federpendel-Beispiel heißt das:
\[ F(x) = - \frac{d}{dx} W(x) = - \frac{d}{dx} \left[ k \cdot \frac{x^2}{2} \right] = - k \cdot x \]
Dies ist genau die bekannte Rückstellkraft der Feder.
Beispiel 2: Arbeit beim Heben eines Körpers der Masse \(m\) im Schwerefeld der Erde:
Es muss gegen die Gravitationskraft gearbeitet werden. Diese ist in der Nähe der Erdoberfläche konstant, es ist \(F = m \cdot g\) mit \(g=9.81 \; m/s^2\). Wir können daher die Formel (3) anwenden. Wir nehmen an, dass der Körper vom Erdboden (\(s=0\)) auf die Höhe \(h\) gehoben wird und bekommen daher:
\[ W = F \cdot h = m \cdot g \cdot h \]
Diese an dem Körper verrichtete Arbeit ist dann die potentielle Energie, die in dem gehobenen Körper steckt.
Konservative Kräfte und Potentiale
Wir hatten es in den Beispielen mit sogenannten konservativen Kräften zu tun. Bei solchen Kräften ist die verrichtete mechanische Arbeit unabhängig vom zurückgelegten Weg, wie in der Skizze angedeutet:
Konservatives Kraftfeld
Es spielt hier keine Rolle, ob der rote oder der violette Weg von \(A\) nach \(B\) zurückgelegt wird, die verrichtete mechanische Arbeit ist für konservative Kräfte in beiden Fällen die gleiche. So hängt z. B. die potentialle Energie beim Heben eines Körpers gegen die Gravitation nur von der Höhe \(h\) ab, nicht von dem Weg, der dabei durchlaufen wird. Es ist egal, ob der Körper vertikal hochgehoben wird, oder ob er über eine (reibungsfreie!) Rampe auf die Höhe \(h\) geschoben wird:
Jedem Punkt in einem konservativen Kraftfeld kann aufgrund dieser Wegunabhängigkeit ein eindeutiges sogenanntes Potential zugeordnet werden.
Wird in einem konservativen Kraftfeld ein Weg durchlaufen, der wieder zum Ausgangspunkt führt, so ist die gesamte verrichtete mechanische Arbeit Null, d.h. die mechanische Arbeit, die für den Weg \(A \rightarrow B\) aufgewendet wurde, wird auf einem (beliebigen!) “Rückweg” \(B \rightarrow A\) wieder frei. So kann zum Beispiel ein gehobener Körper wieder die gleiche Arbeit verrichten, wenn er freigegeben wird. Dies kann mathematisch folgendermaßen ausgedrückt werden:
\[ \oint \vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r} = 0 \]
Das Ringintegral \(\oint\) bedeutet, dass über einen Weg integriert wird, der eine geschlossene Kurve darstellt.
Nichtkonservative Kräfte
Ein Beispiel für eine nichtkonservative Kraft ist die Reibungskraft. Die zur Überwindung der Reibung aufzubringende mechanische Arbeit ist vom Weg abhängig - je länger der Weg, desto größer die notwendige mechanische Arbeit. Daher gibt es für die Reibungskraft auch kein Potential.
Leistung
Oft interessiert nicht nur die verrichtete Arbeit, sondern die verrichtete Arbeit pro Zeit - die Leistung:
\[ P = \frac{dW(t)}{dt} \]
Wird während einer Zeitdauer \(\Delta t\) eine mechanische Arbeit \(\Delta W\) verrichtet, so ist die durchschnittliche Leistung während dieses Zeitraumes:
\[ \bar{P} = \frac{\Delta W}{\Delta t} \]
Die Leistung kann auch mit Hilfe der Kraft und der Geschwindigkeit ausgedrückt werden. Wir können nach Gleichung (1) \(dW =\vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}\) schreiben. Nach formaler Teilung durch \(dt\) erhalten wir:
\[ P = \frac{dW}{dt} = \frac{\vec{F}(\vec{r}) \cdot d\vec{r}}{dt} = \vec{F}(\vec{r}) \cdot \vec{v} \hspace{2cm} (5) \]
Haben \(\vec{F}\) und \(\vec{v}\) immer die gleiche Richtung, können wir Gleichung (5) vereinfachen:
\[ P = F \cdot v \hspace{6.5cm} (6) \] wobei \(F\) und \(v\) die Beträge von Kraft bzw. Geschwindigkeit sind.
Die Einheit der Leistung ist \(Joule/s = W\) (Watt).
Kinetische Energie
Die kinetische Energie eines Massenpunktes der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt ist:
\[ W_{kin} = \frac{m}{2} \cdot v^2 \]
Die kinetische Ebergie wächst also quadratisch mit der Geschwindigkeit.
Die kinetische Energie von rotierenden Körpern wird in einem anderen Kapitel behandelt.
Energieerhaltung
In einem konservativen mechanischen System (keine Reibung!) bleibt die gesamte mechanische Energie zeitlich konstant:
\[ \frac{dW_{ges}}{dt} = 0 \]
Das heißt, dass die Summe aus potentieller und kinetischer Energie zu jedem Zeitpunkt konstant ist:
\[ W_{ges} = W_{kin} + W_{pot} = const. \] Die Konstante ist dabei frei wählbar, da der Nullpunkt der potentiellen Energie beliebig festgelegt werden kann.
Beispiel: Energieerhaltung beim Fadenpendel:
Ein Körper der Masse \(m\) ist an einem Pendel der Länge \(L\) befestigt ist. Die Masse des Pendelfadens sei vernachlässigbar, so dass das Fadenpendel als Punktmasse betrachtet werden kann. Die Anfangsauslenkung sei \(ϕ_0\).
Die Summe \(W_{ges}\) aus kinetischer und potentieller Energie muss zu jedem Zeitpunkt konstant sein:
\[ W_{ges} = W_{kin} + W_{pot} = \frac{m}{2} \cdot v^2 + m \cdot g \cdot h = const. \]
Es ist günstig, den tiefsten Punkt der Pendelbewegung mit \(W_{pot}=0\) zu verknüpfen. Die Höhe der Pendelmasse über dem tiefsten Punkt ist zu jedem Zeitpunkt \(h = L \cdot \left(1- \cos{\phi} \right)\), siehe Skizze:
Die Gesamtenergie \(W_{ges}\) kann dann aus der Anfangsauslenkung \(\phi_0\) bestimmt werden. Für \(\phi = \phi_0\) ist die kinetische Energie Null. Die Gesamtenergie ist dort also identisch mit der potentiellen Energie. Daher ist \(W_{ges} = m \cdot g \cdot L \cdot \left(1- \cos{\phi_0} \right)\). Wir haben also:
\[ \begin{align*} W_{kin} + W_{pot} &= W_{ges} \\ \frac{m}{2} \cdot v^2 + m \cdot g \cdot L \cdot \left(1- \cos{\phi} \right) &= m \cdot g \cdot L \cdot \left(1- \cos{\phi_0} \right) \end{align*} \]
Dies kann nach \(v\) umgestellt werden, um die Geschwindigkeit \(v\) in Abhängigkeit vom Auslenkungswinkel \(\phi\) zu berechnen:
\[ v(\phi) = \sqrt{2 \cdot g \cdot L \cdot \left( \cos{\phi} - \cos{\phi_0} \right)} \]
Für \(\phi = \phi_0\) ist die Geschwindigkeit Null. Für \(\phi = 0\) (tiefster Punkt) nimmt die Geschwindigkeit den maximalen Wert an:
\[ v_{max} = \sqrt{2 \cdot g \cdot L \cdot \left(1 - \cos{\phi_0} \right)} = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_0} \] Hier ist \(h_0 = L \cdot \left(1 - \cos{\phi_0}\right)\) die Anfangshöhe. Wenn \(\phi_0\) größer wird, wird auch \(v_{max}\) größer, denn \(\cos{\phi_0}\) wird kleiner.