Einführung neuer Konstanten für den Dämpfungsfall

Wir wollen den Term in der eckigen Klammer von Gl. (1) umformen, also den Term:

\[ C_1 \cdot \exp{ \left( i \cdot \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \cdot t \right)} + C_2 \cdot \exp{ \left(- i \cdot \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \cdot t \right)} \]

Um Schreibarbeit zu vermeiden, setzen wir \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\), so dass wir schreiben können:

\[ C_1 \cdot \exp{ \left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + C_2 \cdot \exp{ \left(- i \cdot \alpha \cdot t \right)} \]

Wir haben hier gesagt, dass wir neue Konstanten \(C_3\) und \(C_4\) durch folgende Transformation einführen wollen:

\[ \begin{align*} C_3 &= C_1 + C_2 \\[6pt] C_4 &= i \cdot (C_1 - C_2) \end{align*} \] Die Umkehrung lautet:

\[ \begin{align*} C_1 &= \frac{1}{2} \cdot (C_3 - i \cdot C_4) \\[6pt] C_2 &= \frac{1}{2} \cdot (C_3 + i \cdot C_4) \end{align*} \]

Dies setzen wir in den obigen Klammerausdruck ein:

\[ \begin{align*} &\quad \; C_1 \cdot \exp{ \left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + C_2 \cdot \exp{ \left(- i \cdot \alpha \cdot t \right)} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \cdot (C_3 - i \cdot C_4) \cdot \exp{\left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + \frac{1}{2} \cdot (C_3 + i \cdot C_4) \cdot \exp{ \left(- i \cdot \alpha \cdot t \right)} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \cdot C_3 \cdot \exp{\left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + \frac{1}{2} \cdot C_3 \cdot \exp{\left( -i \cdot \alpha \cdot t \right)} - \frac{i}{2} \cdot C_4 \cdot \exp{\left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + \frac{i}{2} \cdot C_4 \cdot \exp{\left( -i \cdot \alpha \cdot t \right)} \\[6pt] &= C_3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \Big[ \exp{\left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} + \exp{\left( -i \cdot \alpha \cdot t \right)} \Big] + C_4 \cdot \frac{1}{2i} \cdot \Big[ \exp{\left( i \cdot \alpha \cdot t \right)} - \exp{\left( -i \cdot \alpha \cdot t \right)} \Big] \end{align*} \]

Wir haben im letzten Schritt \(i = 1/(-i)\) benutzt.

Wir können nun die Eulersche Formel anwenden. Ganz allgemein gilt:

\[ \begin{align*} \cos{x} = \frac{1}{2} \cdot \Big[ \exp{\left( i \cdot x \right)} + \exp{\left( -i \cdot x \right)} \Big] \\[6pt] \sin{x} = \frac{1}{2i} \cdot \Big[ \exp{\left( i \cdot x \right)} - \exp{\left( -i \cdot x \right)} \Big] \end{align*} \]

Dies auf die letzte Zeile der obigen Formel angewendet (\(x \hspace{0.1cm} \rightarrow \hspace{0.1cm} \alpha \cdot t\)) ergibt:

\[ C_3 \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t \right)} + C_4 \cdot \sin{ \left( \alpha \cdot t\right)} \]

Ersetzen wir wieder die Abkürzung \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\), erhalten wir:

\[ C_3 \cdot \cos{ \left( \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \cdot t \right)} + C_4 \cdot \sin{ \left( \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \cdot t \right)} \]

also den gewünschten Klammerausdruck in Gleichung (2).


Als nächstes formen wir weiter um, um auf Gleichung (3) zu kommen.

Wir ersetzen nun die Konstanten \(C_3\) und \(C_4\) durch die neue Konstante \(A\) und den Winkel \(\delta\), undzwar mit Hilfe der Beziehungen:

\[ \begin{align*} C_3 &= A \cdot \cos{\delta} \\[6pt] C_4 &= A \cdot \sin{\delta} \end{align*} \]

Die Rücktransormation lautet:

\[ \begin{align*} A &= \sqrt{C_3^2 + C_4^2} \\[6pt] \tan{\delta} &= C_4/C_3 \end{align*} \]

(Wer das nachvollziehen möchte, sollte die Identität \(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\) anwenden.)

Wir ersetzen also \(C_3\) und \(C_4\) (und kürzen wieder \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\) ab):

\[ \begin{align*} & \quad \; C_3 \cdot \cos{\left(\alpha \cdot t \right)} + C_4 \cdot \sin{\left(\alpha \cdot t \right)} \\[6pt] &= A \cdot \cos{\delta} \cdot \cos{\left(\alpha \cdot t \right)} + A \cdot \sin{\delta} \cdot \sin{\left(\alpha \cdot t \right)} \\[6pt] &= A \cdot \Big[ \cos{\delta} \cdot \cos{\left(\alpha \cdot t \right)} + \sin{\delta} \cdot \sin{\left(\alpha \cdot t \right)} \Big] \\[6pt] &= A \cdot \cos{\left(\alpha \cdot t - \delta\right)} \end{align*} \]

Der letzte Schritt folgt aus der allmeinen Formel (siehe Wikipedia):

\[ \cos{\left(x \pm y \right)} = \cos{x} \cdot \cos{y} \mp \sin{x} \cdot \sin{y} \]

Wenn wir nun wieder \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\) substituieren, erhalten wir den harmonischen Teil von Gleichung (3).


Bestimmung der Konstanten für die gedämpfte Schwingung

Wir betrachten den Fall der schwachen Dämpfung.

Die Beziehungen für \(x(t)\) und \(v(t)\) lauten:

\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \cos{ \left( \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \cdot t - \delta\right)} \\[6pt] v(t) &= -A \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \Bigg[ \gamma \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} + \alpha \cdot \sin{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} \Bigg] \end{align*} \]

Mit \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\) erhalten wir die beiden Gleichungen:

\[ \begin{align*} x_0 &= A \cdot \cos{\delta} \\[6pt] v_0 &= -A \cdot \Big[ \gamma \cdot \cos{\delta} - \alpha \cdot \sin{\delta} \Big] \end{align*} \]

(Man beachte, dass \(\cos{(-\delta)} = \cos{(\delta)}\) und \(\sin{(-\delta)} = -\sin{(\delta)}\)).

Die erste Gleichung ergibt \(A=x_0/\cos{\delta}\). Wenn wir dies in die 2. Gleichung einsetzen, erhalten wir:

\[ \begin{align*} v_0 &= - \frac{x_0}{\cos{\delta}} \cdot \Big[ \gamma \cdot \cos{\delta} - \alpha \cdot \sin{\delta} \Big] \\[6pt] v_0 &= x_0 \cdot \alpha \cdot \tan{\delta} - x_0 \cdot \gamma \\[6pt] \tan{\delta} &= \frac{v_0 + \gamma \cdot x_0}{\alpha \cdot x_0} \\[6pt] \delta &= \arctan{ \Big[ \frac{v_0 + \gamma \cdot x_0}{\alpha \cdot x_0} \Big] } \end{align*} \]

Mit der Kenntnis von \(\delta\) haben wir nun auch \(A\) (erste Gleichung oben):

\[ \begin{align*} A &= \frac{x_0}{\cos{\delta}} \\[6pt] A &= x_0 \cdot \sqrt{1 + \tan^2{\delta}} \\[6pt] A &= x_0 \cdot \sqrt{1 + \frac{\left(v_0 + \gamma \cdot x_0 \right)^2}{\alpha^2 \cdot x_0^2}} \\[6pt] A &= \sqrt{x_0^2 + \frac{\left(v_0 + \gamma \cdot x_0 \right)^2}{\alpha^2}} \end{align*} \]

Wir haben im 2. Schritt die Identität \(1/\cos{\delta}=\sqrt{1+\tan^2{\delta}}\) benutzt, siehe Formelsammlung Trigonometrie.


Zum aperiodischen Grenzfall

Wir wollen zeigen, dass die Funktion \(x_2(t) = t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)}\) die Differentialgleichung

\[ m \cdot \ddot{x} = - k_R \cdot x - 2 \cdot \gamma \cdot m \cdot \dot{x} \]

löst. Dazu setzen wir die angenommene Lösung in die Gleichung ein und überzeugen uns davon, dass eine Identität entsteht.

Zunächst die Ableitungen von \(x_2(t)\):

\[ \begin{align*} x_2(t) &= t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \\[6pt] \dot{x}_2(t) &= \exp{(-\gamma \cdot t)} -\gamma \cdot t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} = \left( 1- \gamma \cdot t \right) \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \\[6pt] \ddot{x}_2(t) &= -\gamma \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} -\gamma \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} + t \cdot \gamma^2 \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} = \left( \gamma^2 \cdot t - 2 \cdot \gamma \right) \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \end{align*} \]

Einsetzen in die Differentialgleichung:
In jedem Term kommt \(\exp{(-\gamma \cdot t)}\) vor; dieser Ausdruck kann gleich gekürzt werden. Außerdem ist beim aperiodischen Grenzfall \(\gamma = \omega = \sqrt{k_R/m}\), also \(k_R = m \cdot \gamma^2\). Dies setzen wir ebenfalls sofort ein:

\[ \begin{align*} m \cdot \ddot{x}_2 &= - k_R \cdot x_2 - 2 \cdot \gamma \cdot m \cdot \dot{x}_2 \\[6pt] m \cdot \left( \gamma^2 \cdot t - 2 \cdot \gamma \right) &= - m \cdot \gamma^2 \cdot t - 2 \cdot \gamma \cdot m \cdot \left( 1- \gamma \cdot t \right) \\[6pt] m \cdot \gamma^2 \cdot t - 2 \cdot m\cdot \gamma &= - m \cdot \gamma^2 \cdot t - 2 \cdot \gamma \cdot m + 2 \cdot \gamma^2 \cdot m \cdot t \\[6pt] 0 &= 0 \end{align*} \]

Es kürzen sich alle Terme, die Funktion \(x_2(t) = t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)}\) ist also eine Lösung der Differentialgleichung.


Berechnung der Wronski-Determinante

Die Wronski-Determinante für zwei Funktionen ist folgendermaßen definiert:

\[ W(t) = \begin{vmatrix} x_{1} & x_{2} \\ \dot{x}_{1} & \dot{x}_{2} \end{vmatrix} \]

Für die beiden Lösungsfunktionen \(x_1(t) = \exp{(-\gamma \cdot t)}\) und \(x_2(t) = t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)}\) ergibt das:

\[ \begin{align*} W(t) &= \begin{vmatrix} \exp{(-\gamma \cdot t)} & t \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \\ -\gamma \cdot\exp{(-\gamma \cdot t)} & (1 - \gamma \cdot t) \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \end{vmatrix} \\[6pt] &= \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot (1 - \gamma \cdot t) \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} + \gamma \cdot t \cdot \exp{(-2 \cdot \gamma \cdot t)} \\[6pt] &= \exp{(-2 \cdot \gamma \cdot t)} \neq 0 \end{align*} \]

Die Wronski-Determinante ist ungleich Null, also sind \(x_1(t)\) und \(x_2(t)\) linear unabhängig.


Bestimmung der Konstanten bei erzwungener Schwingung

Wir wollen die Konstanten \(B\) und \(\phi\) durch Auswertung folgender Beziehung berechnen (Gleichung (3) im Kapitel Erzwungene Schwingungen):

\[ B \cdot \left( \omega^2 - \Omega^2\right) + i \cdot 2 \cdot \gamma \cdot \Omega \cdot B = F_0/m \cdot e^{i \cdot\phi} \]

Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn Real- und Imaginärteil übereinstimmen. Wenn wir die Eulersche Formel \(e^{i \cdot\phi} = \cos{\phi} + i \cdot \sin{\phi}\) beachten, erhalten wir:

\[ \begin{align*} B \cdot \left( \omega^2 - \Omega^2\right) &= F_0/m \cdot \cos{\phi} \\[6pt] 2 \cdot \gamma \cdot \Omega \cdot B &= F_0/m \cdot \sin{\phi} \end{align*} \]

Wir teilen die 2. durch die 1. Gleichung und erhalten:

\[ \tan{\phi} = \frac{2 \cdot \gamma \cdot \Omega}{\left( \omega^2 - \Omega^2\right)} \]

Wir quadrieren beide Gleichungen und addieren diese dann. Unter Beachtung von \(\cos^2{\phi} + \sin^2{\phi} = 1\) erhalten wir:

\[ \begin{align*} \qquad B^2 \cdot & \left( \omega^2 - \Omega^2\right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2 \cdot B^2 = \left( F_0/m \right)^2 \\[6pt] B^2 &= \frac{\left( F_0/m \right)^2}{\left( \omega^2 - \Omega^2\right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2} \\[6pt] B &= \frac{ F_0/m }{ \sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2\right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \end{align*} \]

Die sind genau die Ausdrücke, die wir schon im Kapitel erzwungene Schwingungen erhalten hatten.


Einbeziehen der Anfangsbedingungen bei erzwungener Schwingung und schwacher Dämpfung

Die gefundene Lösung war:

\[ x(t) = A \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \]

Die Parameter \(\gamma\), \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2}\), \(\Omega\), \(B\) und \(\phi\) können als bekannt vorausgesetzt werden. (\(B\) und \(\phi\) wurden hier berechnet.)

Wir wollen hier die verbleibenden Konstanten \(A\) und \(\delta\) aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

Dazu brauchen wir zunächst den Ausdruck für die Geschwindigkeit:

\[ \begin{align*} \dot{x}(t) &= -A \cdot \gamma \cdot e^{-\gamma \cdot t} \cos{(\alpha \cdot t - \delta)} - A \cdot \alpha \cdot e^{-\gamma \cdot t} \sin{(\alpha \cdot t - \delta)} - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] &= -A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \Big[ \gamma \cdot \cos{(\alpha \cdot t - \delta)} + \alpha \cdot \sin{(\alpha \cdot t - \delta)} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

Die Anfangsbedingungen seien \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\) mit bekannten \(x_0\) und \(v_0\).

Wir setzen die Anfangsbedingungen in die Formeln für \(x(t)\) und \(v(t)\) ein

\[ \begin{align*} x(0) = x_0 &= A \cdot \cos{ \left(\delta\right)} + B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] \dot{x}(0) = v_0 &= -A \cdot \Big[ \gamma \cdot \cos{( \delta)} - \alpha \cdot \sin{(\delta)} \Big] + B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \]

und formen etwas um:

\[ \begin{align*} A \cdot \cos{ \left(\delta\right)} &= x_0 - B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] -A \cdot \gamma \cdot \cos{( \delta)} + A \cdot \alpha \cdot \sin{(\delta)} &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \]

Auf den rechten Seiten stehen nur bekannte Größen. Wir können uns daher etwas Schreibarbeit ersparen, indem wir die Abkürzungen

\[ \begin{align*} E &= x_0 - B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] F &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \]

einführen. \(E\) und \(F\) sind also bekannte Größen.

Dann wird das obige Gleichungssystem:

\[ \begin{align*} A \cdot \cos{ \left(\delta\right)} &= E \\[6pt] -A \cdot \gamma \cdot \cos{( \delta)} + A \cdot \alpha \cdot \sin{(\delta)} &= F \end{align*} \]

Wir stellen die 1. Gleichung nach \(\cos{(\delta)}\) um und setzen das Ergebnis in die 2. Gleichung ein. Das neue System ist nun:

\[ \begin{align*} A \cdot \cos{ \left(\delta\right)} &= E \\[6pt] A \cdot \alpha \cdot \sin{(\delta)} &= F + \gamma \cdot E \end{align*} \]

Man kann jetzt z.B. die 2. Gleichung durch die 1. teilen und erhält:

\[ \tan{\delta} = \frac{1}{\alpha} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right) \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm} \delta = \arctan{ \Bigg[ \frac{1}{\alpha} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right) \Bigg] } \]

Um \(A\) zu finden, kann man dann wieder die 1. Gleichung heranziehen, also:

\[ \begin{align*} A &= \frac{E}{\cos{\delta}} \\[6pt] A &= E \cdot \sqrt{ 1 + \tan^2{\delta}} \\[6pt] A &= E \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right)^2} \end{align*} \]

Dies sind die Ausdrücke, die im Kapitel erzwungene Schwingungen verwendet wurden.


Einbeziehen der Anfangsbedingungen bei erzwungener Schwingung und starker Dämpfung

Die gefundene Lösung war die Summe der Lösung der homogenen Gleichung und der speziellen Lösung:

\[ x(t) = \exp{ \left( -\gamma \cdot t \right)} \cdot \Big[ C_1 \cdot \exp{(\beta \cdot t)} + C_2 \cdot \exp{(-\beta \cdot t)} \Big] + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \] Die Parameter \(\gamma\), \(\beta = \sqrt{\gamma^2 - \omega^2}\), \(\Omega\), \(B\) und \(\phi\) können als bekannt vorausgesetzt werden. (\(B\) und \(\phi\) wurden hier berechnet.)

Wir wollen hier die verbleibenden Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

Dazu brauchen wir zunächst den Ausdruck für die Geschwindigkeit:

\[ \begin{align*} \dot{x}(t) = v(t) &= -\gamma \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \Big[C_1 \cdot \exp{(\beta \cdot t)} + C_2 \cdot \exp{(-\beta \cdot t)} \Big] + \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \Big[C_1 \cdot \beta \cdot \exp{(\beta \cdot t)} - C_2 \cdot \beta \cdot \exp{(-\beta \cdot t)} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] v(t) &= \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \Big[C_1 \cdot (\beta - \gamma) \cdot \exp{(\beta \cdot t)} - C_2 \cdot (\beta + \gamma)\cdot \exp{(-\beta \cdot t)} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

Die Anfangsbedingungen seien \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\) mit bekannten \(x_0\) und \(v_0\).

Wir setzen die Anfangsbedingungen in die Formeln für \(x(t)\) und \(v(t)\) ein und stellen etwas um:

\[ \begin{align*} x_0 &= C_1 + C_2 + B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] v_0 &= \beta \cdot (C_1 - C_2) - \gamma \cdot (C_1 + C_2) + B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \] Daraus folgt:

\[ \begin{align*} C_1 + C_2 &= x_0 - B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] \beta \cdot (C_1 - C_2) - \gamma \cdot (C_1 + C_2) &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \] Auf den rechten Seiten stehen nur bekannte Größen. Wir können uns daher etwas Schreibarbeit ersparen, indem wir die Abkürzungen

\[ \begin{align*} E &= x_0 - B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] F &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{( \phi)} \end{align*} \] einführen. \(E\) und \(F\) sind also bekannte Größen.

Dann wird das obige Gleichungssystem:

\[ \begin{align*} C_1 + C_2 &= E \\[6pt] \beta \cdot (C_1 - C_2) - \gamma \cdot (C_1 + C_2) &= F \end{align*} \] Wenn wir \((C_1 + C_2)\) in der 2. Gleichung durch \(E\) ersetzen kommen wir auf:

\[ \begin{align*} C_1 + C_2 &= E \\[6pt] C_1 - C_2 &= \frac{F + \gamma \cdot E}{\beta} \end{align*} \] Wir können nun z.B. die 1. und 2. Gleichung addieren, anschließend die 2. von der 1. abziehen und erhalten schließlich:

\[ \begin{align*} C_1 &= \frac{ E \cdot (\beta + \gamma) + F}{2\beta} \\[6pt] C_2 &= \frac{ E \cdot (\beta - \gamma) - F}{2\beta} \end{align*} \] Dies sind die im Kapitel erzwungene Schwingungen verwendeten Ausdrücke.


Einbeziehen der Anfangsbedingungen bei erzwungener Schwingung, aperiodischer Grenzfall

Die gefundene Lösung war die Summe der Lösung der homogenen Gleichung und der speziellen Lösung:

\[ x(t) = e^{-\gamma \cdot t} \cdot \left( C_1 + C_2 \cdot t \right) + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \] Die Parameter \(\gamma\), \(\Omega\), \(B\) und \(\phi\) können als bekannt vorausgesetzt werden. (\(B\) und \(\phi\) wurden hier berechnet.)

Wir wollen hier die verbleibenden Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmen.

Dazu brauchen wir zunächst den Ausdruck für die Geschwindigkeit:

\[ \dot{x}(t) = v(t) = -\gamma \cdot e^{-\gamma \cdot t} \cdot (C_1 + C_2 \cdot t) + C_2 \cdot e^{-\gamma \cdot t} - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \] Die Anfangsbedingungen seien \(x(0) = x_0\) und \(v(0) = v_0\) mit bekannten \(x_0\) und \(v_0\).

Wir setzen die Anfangsbedingungen in die Formeln für \(x(t)\) und \(v(t)\) ein und stellen etwas um:

\[ \begin{align*} x_0 &= C_1 + B \cdot \cos{( \phi)} \\[6pt] v_0 &= - \gamma \cdot C_1 + C_2 + B \cdot \Omega \cdot \sin{(\phi)} \end{align*} \] Daraus erhalten wir:

\[ \begin{align*} C_1 &= E \\[6pt] C_2 &= F + \gamma \cdot E \end{align*} \] (gleiche Abkürzungen für \(E\) und \(F\)).


Maximum der Resonanzkurve

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ist:

\[ B = \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \]

Durch Ableitung und Null setzen können wir \(\Omega\) so bestimmen, dass die Amplitude maximal wird:

\[ \begin{align*} \frac{dB}{d\Omega} &= \frac{F_0}{m} \frac{d}{d\Omega} \Bigg[\left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2 \Bigg]^{-1/2} \\[6pt] &= \frac{F_0}{m} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \Bigg[\left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2 \Bigg]^{-3/2} \cdot \Bigg[ 2 \cdot \left( \omega^2 - \Omega^2 \right) \cdot \left( - 2 \cdot \Omega \right) + 8 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega\Bigg] = 0 \\[6pt] & \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm}\frac{\Omega \cdot \Bigg[ 8 \gamma^2 - 4 \left( \omega^2 - \Omega^2 \right) \Bigg]}{\Bigg[\left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2 \Bigg]^{3/2}} = 0 \end{align*} \] Der Nenner des letzten Ausdruckes kann nicht Null werden. Wenn wir außerden den Fall \(\Omega = 0\) ausschließen, ergibt sich die Lösung aus:

\[ 8 \gamma^2 - 4 \left( \omega^2 - \Omega^2 \right) = 0 \] mit der Lösung

\[ \Omega_{max} = \sqrt{ \omega^2 - 2 \gamma^2 } \]

Betrag und Winkel einer komplexen Zahl

Es gibt verschiedene Darstellungsmöglichkeiten für eine komplexe Zahl:

\[ \begin{align*} z &= a + i \cdot b \\[6pt] z &= R \cdot e^{i \phi} = R \cdot \left( \cos{\phi} + i \cdot \sin{\phi} \right) \end{align*} \]

Die Zahl ist chrakterisiert durch ihren Betrag \(\mid z \mid\) und den Winkel \(\sphericalangle z\) zur reellen Achse:

\[ \begin{align*} \mid z \mid &= \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2 } = \sqrt{a^2 + b^2 } = R \\[6pt] \sphericalangle z \mid &= \tan{\frac{Im(z)}{Re(z)}} = \tan{\frac{b}{a}} = \phi \end{align*} \]


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