Erzwungene Schwingung

Eine erzwungene Schwingung tritt auf, wenn das schwingungsfähige System durch eine äußere periodische Kraft mit der Amplitude \(F_0\) und der Frequez \(\Omega\) angeregt wird. Die Bewegungsgleichung kann dann folgendermaßen formuliert werden:

\[ m \cdot \ddot{x} = - k_R \cdot x - 2 \cdot \gamma \cdot m \cdot \dot{x} + F_0 \cdot \cos{(\Omega \cdot t)} \hspace{1.5cm} (1) \]

Wir setzen im Weiteren voraus, dass die Größen \(F_0\) und \(\Omega\) bekannt sind.
Die äußere Kraft treibt das System an und hat daher eine positives Vorzeichen.

Bedingt durch den Term \(F_0 \cdot \cos{(\Omega \cdot t)}\) ist dies eine inhomogene Differentialgleichung. Die vollständigen Lösungen inhomogener Differentialgleichungen bestehen aus zwei Teilen: a) der Lösung der homogenen Gleichung und b) einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung:

\[ x(t) = x_{hom}(t) + x_{s}(t) \]

Die Lösung der homogenen Gleichung - ohne den Term \(F_0 \cdot \cos{(\Omega \cdot t)}\) - haben wir bereits hier ermittelt.

Zu einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung kommen wir durch folgende Überlegung: Wir haben im Kapitel Gedämpfte Schwingungen gesehen, dass die Lösung der homogenen Gleichung exponentiell abklingt. Früher oder später spielt also der Anteil \(x_{hom}(t)\) keine Rolle mehr - dann wird das Verhalten des Systems nur noch durch die äußere Kraft bestimmt. Insbesondere könnnen wir annehmen, dass das System dann mit der Frequenz \(\Omega\) der äußeren Kraft schwingt.

Wir können die spezielle Lösung wiederum mit einem Ansatzverfahren finden. Um die Rechnungen zu erleichtern, greifen wir zu einem kleinen Trick: Statt den Ansatz \(x_{s}(t) = C_1 \cdot \cos{(\Omega \cdot t)} + C_2 \cdot \sin{(\Omega \cdot t)}\) zu verwenden, erweitern wir die Rechnungen in den komplexen Zahlenbereich, d.h wir schreiben für die äußere Kraft

\[ F_a = F_0 \cdot e^{i \Omega \cdot t} \]

und machen für die spezielle Lösung den ebenfalls komplexen Ansatz:

\[ x_s(t) = B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} \hspace{2.5cm} (2) \]

Hier ist \(\Omega\) bekannt, während die Amplitude \(B\) und und die Phase \(\phi\) durch Einsetzen in die Differentialgleichung ermittelt werden müssen. Die Phase \(\phi\) steht für eine mögliche zeitliche Verzögerung zwischen der Bewegung der äußeren Kraft und der Bewegung des schwingungsfähigen Systems. Hier noch einmal die Gleichung, die wir etwas umformen (unter Benutzung von \(\omega^2 = k_R/m\)):

\[ \begin{align*} m \cdot \ddot{x} + 2 \cdot \gamma \cdot m \cdot \dot{x} + k_R \cdot x &= F_0 \cdot e^{i \Omega \cdot t} \\[6pt] \ddot{x} + 2 \cdot \gamma \cdot \dot{x} + k_R/m \cdot x &= F_0/m \cdot e^{i \Omega \cdot t} \\[6pt] \ddot{x} + 2 \cdot \gamma \cdot \dot{x} + \omega^2 \cdot x &= F_0/m \cdot e^{i \Omega \cdot t} \end{align*} \]

Wir brauchen noch die 1. und 2. Ableitung des vorgeschlagenen Ansatzes:

\[ \begin{align*} x_s(t) &= B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] \dot{x}_s(t) &= i \cdot \Omega \cdot B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] \ddot{x}_s(t) &= - \Omega^2 \cdot B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

(Die Exponentialfunktionen lassen sich leichter ableiten als Summen von Sinus- und Kosinustermen - ein Vorteil für den komplexen Ansatz.)

Wir setzen jetzt in die Differentialgleichung ein:

\[ \begin{align*} \ddot{x} + 2 \cdot \gamma \cdot \dot{x} + \omega^2 \cdot x &= F_0/m \cdot e^{i \Omega \cdot t} \\[6pt] - \Omega^2 \cdot B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} + 2 \cdot \gamma \cdot i \cdot \Omega \cdot B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} + \omega^2 \cdot B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} &= F_0/m \cdot e^{i \Omega \cdot t} \hspace{0.5cm} | : e^{i (\Omega \cdot t)} \hspace{0.2cm} \cdot e^{i \phi} \\[6pt] - \Omega^2 \cdot B + 2 \cdot \gamma \cdot i \cdot \Omega \cdot B + \omega^2 \cdot B &= F_0/m \cdot e^{i \cdot\phi} \\[6pt] B \cdot \left( \omega^2 - \Omega^2\right) + i \cdot 2 \cdot \gamma \cdot \Omega \cdot B &= F_0/m \cdot e^{i \cdot\phi} \end{align*} \hspace{1.5cm} (3) \]

Die komplexen Zahlen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens müssen nun identisch sein, d.h. Betrag und Richtung müssen übereinstimmen.
Der Betrag einer komplexen Zahl ist \(\mid z \mid = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}\), der Winkel \(\phi =\arctan{\frac{Im(z)}{Re(z)}}\).
(Im Anhang wird noch einmal gezeigt, wie Betrag und Richtung von komplexen Zahlen berechnet werden.)

Bezüglich des Betrages erhalten wir aus der obigen Gleichung:

\[ \begin{align*} F_0/m &= \sqrt{ B^2 \cdot \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + B^2 \cdot \left( 2 \cdot \gamma \cdot \Omega \right)^2} \\[6pt] F_0/m &= B \cdot \sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2} \\[6pt] B &= \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \end{align*} \]

Die Forderung der Gleichheit des Winkels ergibt:

\[ \begin{align*} \phi &= \arctan{\frac{2 \cdot \gamma \cdot \Omega}{\omega^2 - \Omega^2}} \\[6pt] \end{align*} \]

(Der Winkel von \(e^{i \cdot\phi}\) ist einfach \(\phi\), siehe Anhang.)

Alternativ kann man auch den Real- und Imaginärteil beider Seiten des Ausdruckes (3) vergleichen, siehe Anhang.

Wir haben nun die gesuchten Konstanten \(B\) und \(\phi\) gefunden, damit also auch die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung.

Wir hatten (etwas künstlich) einen komplexen Ansatz für die spezielle Lösung gemacht, wir benutzen jetzt nur den Realteil von \(B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)}\). Dieser ist nach der Eulerschen Formel: \(Re\left( B \cdot e^{i (\Omega \cdot t - \phi)} \right) = B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)}\):

Hier noch einmal zusammengefasst die spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung:

\[ \begin{align*} x_s(t) &= B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] B &= \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \\[6pt] \phi &= \arctan{\frac{2 \cdot \gamma \cdot \Omega}{\omega^2 - \Omega^2}} \end{align*} \]

Hier sind \(\Omega\) die Frequenz der äußeren Kraft, \(F_0\) deren Amplitude und \(\omega = k_R/m\) die Eigenfrequenz des schwingungsfähigen Systems, während \(\gamma\) die Stärke der Dämpfung bestimmt.

Die vollständige Lösung hängt nun von der Stärke der Dämpfung ab.

Schwache Dämfung

Für schwache Dämpfung kombinieren wir die entsprechende Lösung der homogenen Gleichung mit der soeben gefundenen speziellen Lösung:

\[ \begin{align*} x(t) &= x_{hom}(t) + x_{s}(t) \\[6pt] x(t) &= A \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

Hier sind \(\gamma\), \(\alpha\), \(B\), \(\Omega\) und \(\phi\) bekannt, während \(A\) und \(\delta\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen.

Eine etwas längere Berechnung (siehe Anhang) ergibt:

\[ \begin{align*} \delta &= \arctan{\Bigg[ \frac{1}{\alpha} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right) \Bigg]} \\[6pt] A &= E \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right)^2} \end{align*} \]

mit den Abkürzungen:

\[ \begin{align*} E &= x_0 - B \cdot \cos{\phi} \\[6pt] F &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{\phi} \end{align*} \]


x0 = 2                # initial extension                             m
v0 = 0                # initial velocity                              m/s
gamma = c(0.5, 0.7)   # attenuation                                   1/s
m = 1                 # mass of the oscillating compound              kg
T = 1                 # period                                        s
omega = 2*pi/T        # we have gamma < omega ==> weak attenuation    1/s
Omega = 1.1*omega     # frequency of the driving force                1/s
F0 = 1                # amplitude of the driving force                N

xt_forced <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  alpha = sqrt(omega^2 - gamma^2)
  delta = atan(1/alpha*(F/E+gamma))
  A = E*sqrt(1 + (F/E + gamma)^2/alpha^2)
  A*exp(-gamma*t)*cos(alpha*t-delta) + B*cos(Omega*t-phi)
} 

mtxt = "Driven  oscillation, weak damping"
curve(xt_forced(x, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 10, n = 300, col = "red",  lwd = 1.5, lty = 1, ylab = "x(t)", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(xt_forced(x, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 10, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)
mtext(substitute(F[0] == a ~~ omega == b ~~ Omega == c, list(a=signif(F0,3), b=signif(omega,3), c=signif(Omega,3))))   
labels <- c(parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[1])),
            parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[2])))
legend("topright", labels, lwd=2, lty=c(1,3), col=c("red", "blue"))
segments(2, -1.5, 2.16, -1.5, lwd = 2, col = "darkgreen")  # period of damped oscillation
segments(8, -1.5, 8.91, -1.5, lwd = 2, col = "black")      # period of forced oscillation
labels = c(expression('T'[1]), expression('T'[2]))
text(c(2.1,8.4), c(-1.3,-1.3), labels, col = c("darkgreen", "black"))

Die Frequenz der gedämften Schwingung in der Abbildung beträgt \(\alpha = \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \approx 39.2 \cdot 1/s\) (für die rote Linie mit \(\gamma = 0.5\)). Dies entspricht einer Periode von \(T_1 = 2 \cdot \pi / \alpha \approx 0.16 \; s\) (= grüne Linie in der obigen Abbildung).

Wie vorausgesagt, wird die Dynamik des Systems von der treibenden Kraft bestimmt, sobald die gedämpfte Schwingung abgeklungen ist. Nun wird die Frequenz \(\Omega = 1.1 \cdot \omega \approx 6.91 \cdot 1/s\) dominant. Dies entspricht einer Periode von \(T_2 = 2 \cdot \pi / \Omega \approx 0.91 \;s\) (= schwarze Linie in der obigen Abbildung).

Wir überprüfen noch, ob die Anfangsbedingungen wirklich erfüllt sind (die Formel für die Geschwindigkeit wurde im Anhang ermittelt):

vt_forced <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {   # velocity 
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  alpha = sqrt(omega^2 - gamma^2)
  delta = atan(1/alpha*(F/E+gamma))
  A = E*sqrt(1 + (F/E + gamma)^2/alpha^2)
  -A*exp(-gamma*t)*(gamma*cos((alpha*t-delta))+alpha*sin((alpha*t-delta)))-B*Omega*sin((Omega*t-phi)) 
}

x01 = xt_forced(0, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
v01 = vt_forced(0, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
x02 = xt_forced(0, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
v02 = vt_forced(0, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
cat(paste("x0 =", x01, "  v0 =", round(v01, 15)))  
## x0 = 2   v0 = 0
cat(paste("x0 =", x02, "  v0 =", round(v02, 15)))   
## x0 = 2   v0 = 0

Das stimmt, jedenfalls wenn auf 15 Stellen (bei der Geschwindigkeit) gerundet wird.
(Es ergibt sich für \(\gamma_2\) ein Rechenfehler von \(\approx 10^{-16} \; m/s\) für \(v_0\)).

Starke Dämpfung

Für starke Dämpfung kombinieren wir wieder die entsprechende Lösung der homogenen Gleichung mit der oben gefundenen speziellen Lösung:

\[ \begin{align*} x(t) &= x_{hom}(t) + x_{s}(t) \\[6pt] x(t) &= \exp{ \left( -\gamma \cdot t \right)} \cdot \Big[ C_1 \cdot \exp{(\beta \cdot t)} + C_2 \cdot \exp{(-\beta \cdot t)} \Big] + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

Hier sind \(\gamma\), \(\beta\), \(B\), \(\Omega\) und \(\phi\) bekannt, während \(C_1\) und \(C_2\) aus den Anfangsbedingungen bestimmt werden müssen. Wir erhalten (siehe Anhang):

\[ \begin{align*} C_1 &= \frac{E \cdot (\beta + \gamma)+F}{2 \beta} \\[6pt] C_2 &= \frac{E \cdot (\beta - \gamma)-F}{2 \beta} \end{align*} \] Es war hier \(\beta = \sqrt{\gamma^2-\omega^2}\) eine positive reelle Zahl, siehe Kapitel gedämpfte Schwingungen, Abschnitt starke Dämpfung.

Es wurden wieder folgende Abkürzungen benutzt:

\[ \begin{align*} E &= x_0 - B \cdot \cos{\phi} \\[6pt] F &= v_0 - B \cdot \Omega \cdot \sin{\phi} \end{align*} \]


x0 = 0.5              # initial extension                             m
v0 = 0                # initial velocity                              m/s
gamma = c(10, 15)     # attenuation                                   1/s
m = 1                 # mass of the oscillating compound              kg
T = 1                 # period                                        s
omega = 2*pi/T        # we have omega < gamma ==> strong damping      1/s
Omega = 1.1*omega     # frequency of the driving force                1/s
F0 = 4                # amplitude of the driving force                N

xt_strong <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  beta = sqrt(gamma^2 - omega^2)  
  C1 = (E*(beta+gamma) + F)/(2*beta)
  C2 = (E*(beta-gamma) - F)/(2*beta)  
  exp(-gamma*t)*(C1*exp(beta*t) + C2*exp(-beta*t)) + B*cos(Omega*t-phi)
} 

mtxt = "Driven  oscillation, strong damping"
curve(xt_strong(x, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 10, n = 300, col = "red",  lwd = 1.5, 
      lty = 1, ylab = "x(t)", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(xt_strong(x, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 10, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)
mtext(substitute(F[0] == a ~~ omega == b ~~ Omega == c, 
                 list(a=signif(F0,3), b=signif(omega,3), c=signif(Omega,3))))   
labels <- c(parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[1])),
            parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[2])))
legend("topright", labels, lwd=2, lty=c(1,3), col=c("red", "blue"))

Wir überprüfen noch, ob die Anfangsbedingungen wirklich erfüllt sind (die Formel für die Geschwindigkeit wurde im Anhang ermittelt):

vt_strong <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {   # velocity 
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  beta = sqrt(gamma^2 - omega^2)  
  C1 = (E*(beta+gamma) + F)/(2*beta)
  C2 = (E*(beta-gamma) - F)/(2*beta)
  exp(-gamma*t)*(C1*(beta-gamma)*exp(beta*t) - C2*(beta+gamma)*exp(-beta*t)) - B*Omega*sin(Omega*t-phi)
}

x01 = xt_strong(0, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
v01 = vt_strong(0, gamma[1], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
x02 = xt_strong(0, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
v02 = vt_strong(0, gamma[2], omega, Omega, F0, m, x0, v0)
cat(paste("x0 =", x01, "  v0 =", round(v01, 15)))  
## x0 = 0.5   v0 = 0
cat(paste("x0 =", x02, "  v0 =", round(v02, 15)))   
## x0 = 0.5   v0 = 0

Das stimmt, jedenfalls wenn auf 15 Stellen (bei der Geschwindigkeit) gerundet wird.


Aperiodischer Grenzfall

Hier hatten wir \(\omega = \gamma\). Auch hier kombinieren wir die entsprechende Lösung der homogenen Gleichung mit der oben gefundenen speziellen Lösung:

\[ \begin{align*} x(t) &= x_{hom}(t) + x_{s}(t) \\[6pt] x(t) &= e^{-\gamma \cdot t} \cdot \left( C_1 + C_2 \cdot t \right) + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \] Die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) erhalten wir wieder aus den Anfangsbedingungen (siehe Anhang):

\[ \begin{align*} C_1 &= E \\[6pt] C_2 &= F + \gamma \cdot E \end{align*} \] Die Konstanten \(E\) und \(F\) sind wieder die schon bekannten Ausdrücke.


x0 = 0.5              # initial extension                             m
v0 = 0                # initial velocity                              m/s
gamma = c(10, 15)     # attenuation                                   1/s
m = 1                 # mass of the oscillating compound              kg
T = 1                 # period                                        s
omega = gamma         # we have omega < gamma ==> strong damping      1/s
Omega = 1.1*omega[2]  # frequency of the driving force                1/s
F0 = 10               # amplitude of the driving force                N

xt_aper <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  C1 = E
  C2 = F + gamma*E  
  exp(-gamma*t)*(C1 + C2*t) + B*cos(Omega*t-phi)
} 

mtxt = "Driven  oscillation, aperiodic limit"
curve(xt_aper(x, gamma[1], omega[1], Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 7, n = 300, col = "red",  lwd = 1.5, 
      lty = 1, ylab = "x(t)", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(xt_aper(x, gamma[2], omega[2], Omega, F0, m, x0, v0), 
      from = 0, to = 7, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)
mtext(substitute(F[0] == a ~~ omega == b ~~ Omega == c, 
                 list(a=signif(F0,3), b=signif(omega,3), c=signif(Omega,3))))   
labels <- c(parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[1])),
            parse(text = sprintf("gamma == %f", gamma[2])))
legend("topright", labels, lwd=2, lty=c(1,3), col=c("red", "blue"))

Im Vergleich zur starken Dämpfung verringert sich die anfängliche Amplitude viel schneller.

Wir überprüfen noch, ob die Anfangsbedingungen wirklich erfüllt sind (die Formel für die Geschwindigkeit wurde im Anhang ermittelt):

vt_aper <- function(t, gamma, omega, Omega, F0, m, x0, v0) {   # velocity 
  phi = atan(2*gamma*Omega/(omega^2-Omega^2))
  B = F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
  E = x0 - B*cos(phi)
  F = v0 - B*Omega*sin(phi)
  C1 = E
  C2 = F + gamma*E  
  -gamma*exp(-gamma*t)*(C1 + C2*t) + C2*exp(-gamma*t) - B*Omega*sin(Omega*t-phi)
}

x01 = xt_aper(0, gamma[1], omega[1], Omega, F0, m, x0, v0)
v01 = vt_aper(0, gamma[1], omega[1], Omega, F0, m, x0, v0)
x02 = xt_aper(0, gamma[2], omega[2], Omega, F0, m, x0, v0)
v02 = vt_aper(0, gamma[2], omega[2], Omega, F0, m, x0, v0)
cat(paste("x0 =", x01, "  v0 =", round(v01, 15)))  
## x0 = 0.5   v0 = 0
cat(paste("x0 =", x02, "  v0 =", round(v02, 15)))   
## x0 = 0.5   v0 = 0

Das stimmt, jedenfalls wenn auf 15 Stellen (bei der Geschwindigkeit) gerundet wird.


Die Resonanzkurve

Die Amplitude der Schwingung nach dem Einschwingvorgang, wenn die Dynamik des Systems durch die äußere Krfat bestimmt wird, ist:

\[ B = \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \]

Wir sehen, dass \(B\) sehr groß werden kann, wenn die Dämpfung \(\gamma\) klein ist und \(\Omega \approx \omega\) ist.

Zur Veranschaulichung plotten wir die Größe von \(B\) über \(\Omega\) in der Nähe der Eigenfrequenz \(\omega\) des schwingungsfähigen Systems:

F0 = 1           # amplitude of external force            N
m = 3            # mass                                   kg
omega = 6        # intrinsic oscillation frequency        1/s

B <- function(Omega, omega, gamma, F0, m) {  
  F0/m/sqrt((omega^2-Omega^2)^2 + 4*gamma^2*Omega^2)
}   

mtxt = "Resonance plot"
xlab = parse(text = sprintf("Omega"))
curve(B(x, omega, gamma = 0.5, F0, m), 
      from = 2, to = 10*T, n = 300, col = "red", lwd = 2, lty = 1, ylab = "B", xlab = xlab, 
      main = mtxt, font.main = 1)
curve(B(x, omega, gamma = 1.0, F0, m), 
      from = 2, to = 10*T, n = 300, col = "blue", lwd = 2, lty = 1, add = TRUE)
curve(B(x, omega, gamma = 1.5, F0, m), 
      from = 2, to = 10*T, n = 300, col = "green", lwd = 2, lty = 1, add = TRUE)
abline(v = omega, lty = 3, col = "darkgrey", lwd = 2)
mtext(substitute(F[0] == a ~~ omega == b, list(a=signif(F0,3), b=signif(omega,3)))) 
labels <- c(parse(text = sprintf("gamma == %f", 0.5)),
            parse(text = sprintf("gamma == %f", 1.0)),
            parse(text = sprintf("gamma == %f", 1.5)))
legend("topleft", labels, lwd=2, lty=1, bty = "n", col=c("red", "blue", "green"))

Durch Ableitung des Ausdruckes für \(B\) nach \(\Omega\) und Nullsetzen (\(dB/d\Omega=0\)) können wir die Lage des Maximums der Resonanzkurve bestimmen (siehe Anhang):

\[ \Omega_{max} = \sqrt{\omega^2 - 2 \cdot \gamma^2} \]

Das Maximum liegt nicht genau bei der Eigenfrequenz des Systems \(\omega\), sondern etwas darunter. Mit abnehmender Dämpfung \(\gamma\) nähert sich die Resonanzfrequenz \(\Omega\) immer mehr an dere Eigenfrequenz \(\omega\).


Die Phasenraumdarstellung für die erzwungene Schwingung

Wie schon bei der gedämften Schwingung werden wir für eine Reihe von Zeiten \(t\) jeweils die Werte \(x(t)\) und \(v(t)\) berechnen und das Ergebnis plotten. Hier noch einmal eine Zusammenfassung der Formeln für die Auslenkung und die Geschwindigkeit:

\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot \exp{(-\gamma \cdot t)} \cdot \cos{ \left( \alpha \cdot t - \delta\right)} + B \cdot \cos{(\Omega \cdot t - \phi)} \\[6pt] v(t) &= -A \cdot e^{-\gamma \cdot t} \Big[ \gamma \cdot \cos{(\alpha \cdot t - \delta)} + \alpha \cdot \sin{(\alpha \cdot t - \delta)} \Big] - B \cdot \Omega \cdot \sin{(\Omega \cdot t - \phi)} \end{align*} \]

Die Konstanten sind:

\[ \begin{align*} \alpha &= \sqrt{\omega^2 - \gamma^2} \\[6pt] \delta &= \arctan{ \Big[ \frac{v_0 + \gamma \cdot x_0}{\alpha \cdot x_0} \Big]} \\[6pt] A &= E \cdot \sqrt{ 1 + \frac{1}{\alpha^2} \cdot \left( \frac{F}{E} + \gamma\right)^2} \\[6pt] B &= \frac{F_0/m}{\sqrt{ \left( \omega^2 - \Omega^2 \right)^2 + 4 \cdot \gamma^2 \cdot \Omega^2}} \\[6pt] \phi &= \arctan{\frac{2 \cdot \gamma \cdot \Omega}{\omega^2 - \Omega^2}} \end{align*} \]

x0 = 1                # initial extension                   m
v0 = 0                # initial velocity                    m/s
T = 1                 # period                              s
omega = 2*pi/T        # intrinsic (undamped) frequency      1/s
Omega = 1.1*omega     # frequency of the driving force      1/s
F0 = 1                # amplitude of driving force          N
m = 3                 # mass                                kg

t = seq(0, 5, length = 1001)
x = xt_forced(t, gamma = 0.5, omega, Omega, F0, m, x0, v0)
v = vt_forced(t, gamma = 0.5, omega, Omega, F0, m, x0, v0)

cols = rep("blue", length(t))
cols[1] = "red"
cols[length(t)] = "red"
mtxt = "Phase portrait, forced oscillation"

plot(x, v, pch = 20, type = "b", lwd = 1.5, cex = 0.6, col = cols, main = mtxt, font.main = 1)
mtext(substitute(gamma == a, list(a=0.5)))
abline(h = 0, lty = 3, lwd = 1, col = "darkgrey")
abline(v = 0, lty = 3, lwd = 1, col = "darkgrey")

Der Anfangspunkt bei \(t=0\) ist rot gekennzeichnet (in der Abbildung rechts). Hier ist die Auslenkung 1 und die Geschwindigkeit 0, wie durch die Anfangsbedingungen vorgegeben. Die Auslenkung wird danach immer kleiner, währenddessen die Geschwindigkeit negativ ist, d. h. der Schwinger bewegt sich zurück in Richtung Ruhelage. Sobald \(x=0\) ist, nimmt der Betrag der Geschwindigkeit wieder ab und wird schließlich Null, sobald die maximale Auslenkung auf der linken Seite erreicht ist. Bedingt durch die Dämpfung werden im Laufe der Zeit die maximalen Auslenkungen und die maximalen Geschwindigkeiten zunächst kleiner. Jedoch erreicht das System nicht den Punkt \(x=0\) und \(v=0\), sondern verbleibt nach dem Einschwingvorgang für alle Zeiten auf einer Bahn um diesen Punkt. Dies ist die durch die äußere Kraft getriebene Oszillation.


uwe.menzel@matstat.org