Vorkommen

Harmonische Schwingungen treten auf, wenn ein System aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt wird und die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung und dieser entgegengerichtet ist.

Beispiel Feder: Die Rückstellkraft ist \(F_R = - k_F \cdot x\), wobei \(x\) die Auslenkung und \(k_F\) die Federkonstante ist.

Beispiel Fadenpendel: Die Rückstellkraft ist \(F_R = - m \cdot g \cdot \sin{\alpha} \approx - m \cdot g \cdot \alpha\), wobei \(\alpha\) der Auslenkwinkel, \(m\) die Masse und \(g = 9.81 \; m/s^2\) die Erdbeschleunigung ist. Die Näherung \(\sin{\alpha} \approx \alpha\) gilt allerdings nur für kleine Auslenkungswinkel \(\alpha\).

Beispiel Schwimmer, der teilweise unter Wasser gezogen wird: Die Rückstellkraft beruht auf dem gegenüber der Ruhelage vergrößerten Auftrieb und ist \(F_R=- \rho_W \cdot A \cdot g \cdot x\), wobei \(\rho_W\) die Dichte der Flüssigkeit, \(A\) der Querschnitt des Schwimmers und \(x\) die Auslenkung aus der Ruhelage ist. Dies gilt nur, sofern der Schwimmer nicht komplett untergetaucht wird.


Bewegungsgleichung

Da die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung und dieser entgegengerichtet ist, lautet die Bewegungsgleichung im allgemeinen

\[ m \cdot \ddot{x} = - k_R \cdot x \hspace{1.5cm} (1) \]

wobei \(\ddot{x} = d^2x/dt^2= a\) die Beschleunigung ist und \(k_R\) eine für das konkrete Problem spezifische Konstante.
Dies ist das 2. Newtonsche Axiom wenn \(F = - k_R \cdot x\).

Beispiel Feder: Die Bewegungsgleichung lautet:

\[ m \cdot \ddot{x} = - k_F \cdot x \]

wobei \(k_F\) die Federkonstante ist. Es ist hier einfach \(k_R=k_F\).

Beispiel Fadenpendel: Die Bewegungsgleichung für den Auslenkungswinkel lautet (wenn \(\phi\) so klein dass \(\sin{\phi} \approx \phi\)):

\[ m \cdot \ddot{\phi} = - \frac{m \cdot g}{L} \cdot \phi \]

Hier ist die Rückstellkraft \(k_R = m \cdot g/L\).

Alternativ kann auch die Bewegungsgleichung für den Weg \(s\) entlang der Pendelbewegung benutzt werden (\(s\) ist proportional \(\phi\)):

\[ m \cdot \ddot{s} = - \frac{m \cdot g}{L} \cdot s \]

Es ist wieder \(k_R = m \cdot g/L\).

Beispiel Schwimmer: Die Bewegungsgleichung ist:

\[ m \cdot \ddot{x} = - \rho_W \cdot A \cdot g \cdot x \]

Es ist \(k_R = \rho_W \cdot A \cdot g\), wobei \(A\) der Querschnitt des Schwimmers ist.


Weg-Zeit-Gesetz

Ein möglicher Lösungsansatz für Gleichung (1) ist die harmonische Funktion:

\[ x(t) = A \cdot \cos{(\omega \cdot t - \delta)} \hspace{2.5cm} (2) \] Hier ist \(A\) die Amplitude der Schwingung, \(\omega\) ist die Kreisfrequenz und \(\delta\) die Phase der Schwingung.

Die Frequenz wird durch Einsetzen des Ansatzes in Gleichung (1) ermittelt. Wir brauchen daher zunächst die Ableitungen des Ansatzes:

\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot \cos{(\omega \cdot t - \delta)} \\[6pt] \dot{x}(t) &= - A \cdot \omega \cdot \sin{(\omega \cdot t - \delta)} \hspace{1.5cm} (3) \\[6pt] \ddot{x}(t) &= - A \cdot \omega^2 \cdot \cos{(\omega \cdot t - \delta)} \end{align*} \] Wir setzen \(x(t)\) und \(\ddot{x}(t)\) in Gleichung (1) ein, kürzen, stellen nach \(\omega\) um und erhalten:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k_R}{m}} \hspace{4.8cm} (4) \]

\(k_R\) ist der Proportionalitätsfaktor von Kraft und Weg, \(m\) ist die Masse des schwingenden Körpers.

Die Konstanten \(A\) und \(\delta\) in der Funktion (2) ergeben sich aus den Anfanngsbedingungen. Diese seien

\[ \begin{align*} x(0) &= x_0 \\[6pt] v(0) &= v_0 \end{align*} \] mit bekannten \(x_0\) und \(v_0\).

Aus den Anfangsbedingungen und den Formeln (2) und (3) erhalten wir:

\[ \begin{align*} x_0 &= A \cdot \cos{\delta} \\[6pt] v_0 &= A \cdot \omega \cdot \sin{\delta} \end{align*} \] Wir teilen nun z.B. die 2. Gleichung durch die 1. und erhalten:

\[ \tan{\delta} = \frac{v_0}{\omega \cdot x_0} \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm} \delta = \arctan{ \frac{v_0}{\omega \cdot x_0}} \] Wir können nun mit Hilfe der 1. Gleichung auch \(A\) berechnen:

\[ \begin{align*} A &= \frac{x_0}{\cos{\delta}} \\[6pt] A &= x_0 \cdot \sqrt{1 + \tan^2{\delta}} \\[6pt] A &= x_0 \cdot \sqrt{1 + \frac{v_0^2}{\omega^2 \cdot x_0^2}} \\[6pt] A &= \sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2 }} \end{align*} \]

Wir haben im 2. Schritt die Identität \(1/\cos{\delta}=\sqrt{1+\tan^2{\delta}}\) benutzt, siehe Formelsammlung Trigonometrie.

Zusammenfassung:

Differentialgleichung:

\[ m \cdot \ddot{x} + k_R \cdot x = 0 \] Lösung:

\[ \begin{align*} x(t) &= A \cdot \cos{(\omega \cdot t - \delta)} \hspace{1.5cm} \\[6pt] \omega &= \sqrt{\frac{k_R}{m}} \hspace{0.3cm} \longrightarrow \hspace{0.3cm} T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k_R}} \\[6pt] \delta &= \arctan{ \frac{v_0}{\omega \cdot x_0}} \\[6pt] A &= \sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2 }} \end{align*} \]

Diese Funktion löst die Differentialgleichung (1) mit den Anfangsbedingungen \(x(0)=x_0\) und \(v(0)=v_0\).


kR = 2         # characteristic constant         kg/s^2
m  = 3         # mass                            kg
x0 = c(3,2,1)  # initial extension               m
v0 = 0         # initial velocity                m/s 

xt <- function(t, m, kR, x0, v0) {
  omega = sqrt(kR/m)  
  delta = atan(v0/omega/x0)
  A = sqrt(x0^2+v0^2/omega^2)
  A*cos(omega*t - delta)
}
  
mtxt = "Harmonic  oscillation"
curve(xt(x, m, kR, x0 = x0[1], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "red",  lwd = 1.5, lty = 1, ylab = "x(t)", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(xt(x, m, kR, x0 = x0[2], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)
curve(xt(x, m, kR, x0 = x0[3], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "green", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)

mtext(substitute(k[R] == a ~~ m == b ~~ v[0] == c, list(a=signif(kR,3), b=signif(m,3), c=signif(v0,3))))   
labels <- c(parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[1])),
            parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[2])),
            parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[3])))
legend(2.5,3, labels, bty = "n", lwd=2, lty=1, col=c("red", "blue", "green"))


Wir schauen uns auch noch die Geschwindigkeit an:

kR = 2         # characteristic constant         kg/s^2
m  = 3         # mass                            kg
x0 = c(3,2,1)  # initial extension               m
v0 = 0         # initial velocity                m/s 

vt <- function(t, m, kR, x0, v0) {
  omega = sqrt(kR/m)  
  delta = atan(v0/omega/x0)
  A = sqrt(x0^2+v0^2/omega^2)
  -A*omega*sin(omega*t - delta)
}
  
mtxt = "Harmonic  oscillation, velocity"
curve(vt(x, m, kR, x0 = x0[1], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "red",  lwd = 1.5, lty = 1, ylab = "v(t)", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(vt(x, m, kR, x0 = x0[2], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)
curve(vt(x, m, kR, x0 = x0[3], v0), 
      from = 0, to = 12, n = 300, col = "green", lwd = 1.5, lty = 3, add = TRUE)

mtext(substitute(k[R] == a ~~ m == b ~~ v[0] == c, list(a=signif(kR,3), b=signif(m,3), c=signif(v0,3))))   
labels <- c(parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[1])),
            parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[2])),
            parse(text = sprintf("x[0] == %f", x0[3])))
legend(0.5,2, labels, bty = "n", lwd=2, lty=1, col=c("red", "blue", "green"))

Die Anfangsbedingungen sind sowohl für \(x(t)\) als auch für \(v(t)\) erfüllt.


Die Kreisfrequenz

Wir haben oben gesehen: Wenn die Bewegungsgleichung

\[ m \cdot \ddot{x} = - k_R \cdot x \]

mit irgendeiner Konstanten \(k_R\) ist, dann ist die Kreisfrequenz:

\[ \omega = \sqrt{\frac{k_R}{m}} \]

Dieses Ergebnis erhält man durch Einsetzen des Ansatzes \(x(t) = A \cdot \cos{(\omega \cdot t - \delta)}\) in die Bewegungsgleichung.

Je nach konkreter Ausformung von \(k_R\) erhalten wir verschiedene Ausdrücke für \(\omega\) (siehe Beispiele oben).

Beispiel Feder: Die Kreisfrequenz ist:

\[ \omega = \sqrt{ \frac{k_F}{m} } \]

(\(k_F\) ist die Federkonstante mit der Einheit \(kg/s^2\), \(m\) die Masse des an der Feder befestigten Körpers.)

Beispiel Fadenpendel: Die Kreisfrequenz ist:

\[ \omega = \sqrt{ \frac{g}{L}} \]

(\(g\) ist die Erdbeschleunigung, \(L\) ist die Länge des Pendelfadens)

Die Kreisfrequenz hängt nicht von der Masse des am Faden befestigten Körpers ab.

Beispiel Physikalisches Pendel: Die Kreisfrequenz ist:

\[ \omega = \sqrt{ \frac{3 \cdot g}{2 \cdot L}} \]

Beispiel Schwimmer: Die Kreisfrequenz ist:

\[ \omega = \sqrt{\frac{\rho_W \cdot A \cdot g}{m}} \]


Umlauffrequenz und -zeit

Für eine ebene Kreisbewegung hängen Kreisfrequenz \(\omega\), Umlauffrequenz \(f\) und Umlaufzeit \(T\) folgendermaßen zusammen:

\[ \omega = 2 \cdot \pi \cdot f = \frac{2 \cdot \pi }{T} \]

woraus auch \(f = 1/T\) folgt. Hier ist \(T\) die Zeit für einen Umlauf und \(f\) die Frequenz (Umläufe pro Zeit).

Beispiel Feder: Die Umlaufzeit ist:

\[ T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{ \frac{m}{k_F}} \]

Beispiel Fadenpendel: Die Umlaufzeit ist:

\[ T= 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{ \frac{L}{g}} \]


Potentielle und kinetische Energie

Die potentielle Energie kann als das Integral der Kraft längs des Weges geschrieben werden:

\[ W_{pot} = - \int_0^x F(x^\prime) \;dx^\prime \]

In unseren Fall ist \(F(x) = -k_R \cdot x\).

Wenn die Auslenkung vom Punkt \(x^{\prime}=0\) (Ruhelage) bis zum Punkt \(x^{\prime}=x\) erfolgt, bekommen wir also:

\[ W_{pot} = k_R \cdot \int_0^x x^\prime \;dx^\prime = k_R \cdot \left[ \frac{(x^{\prime})^2}{2} \right]_0^x = k_R \cdot \frac{x^2}{2} \]

Wenn wir für \(x\) das Weg-Zeit-Gesetz für \(x(t)\) benutzen, erhalten wir schließlich:

\[ W_{pot} = \frac{k_R}{2} \cdot A^2 \cdot \cos^2{(\omega \cdot t - \delta)} \]

(Die Einheit für die Konstante \(k_R\) ist \(kg/s^2\), für die Energie: \(kg \cdot m^2/s^2 = Nm = J\))

Die kinetische Energie ist \(W_{kin} = m/2 \cdot v^2\). Wir können die oben abgeleitete Beziehung für \(v(t)\) benutzen und erhalten:

\[ \begin{align*} W_{kin} &= \frac{m}{2} \dot{x}^2 = \frac{m}{2} \cdot \Big[ A \cdot \omega \cdot \sin{(\omega \cdot t - \delta)}\Big]^2 \\[6pt] &= \frac{m}{2} \cdot A^2 \cdot \omega^2 \cdot \sin^2{(\omega \cdot t - \delta)} \\[6pt] &= \frac{k_R}{2} \cdot A^2 \cdot \sin^2{(\omega \cdot t - \delta)} \end{align*} \]

Im letzten Schritt wurde \(\omega^2 = k_R/m\) benutzt (siehe oben).

Ganz allgemein gilt \(\sin^2{\alpha} + \cos^2{\alpha} = 1\) für beliebige Winkel \(\alpha\).

Wir erhalten daher einen einfachen Ausdruck für die Gesamtenergie:

\[ \begin{align*} W_{ges} &= W_{pot} + W_{kin} \\[6pt] W_{ges} &= \frac{k_R}{2} \cdot A^2 \cdot \cos^2{(\omega \cdot t - \delta)} + \frac{k_R}{2} \cdot A^2 \cdot \sin^2{(\omega \cdot t - \delta)} \\[6pt] W_{ges} &= \frac{k_R}{2} \cdot A^2 \cdot \Big[ \cos^2{(\omega \cdot t - \delta)} + \sin^2{(\omega \cdot t - \delta)} \Big] \\[6pt] W_{ges} &= \frac{k_R}{2} \cdot A^2 = \frac{k_R}{2} \cdot \left( x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2} \right) = \frac{k_R}{2} \cdot x_0^2 + \frac{m}{2} \cdot v_0^2 \end{align*} \] Die letzte Zeile folgt aus der oben hergeleiteten Beziehung für \(A\) und aus \(\omega = \sqrt{k_R/m}\). Dieser Ausdruck stellt keine Überraschung dar, denn dies ist die Summe der initialen potentiellen und kinetischen Energie, die ja erhalten bleibt.

kR = 2         # characteristic constant         kg/s^2
m  = 3         # mass                            kg
x0 = 2         # initial extension               m
v0 = 0         # initial velocity                m/s 

Wpot <- function(t, m, kR, x0, v0) {   # potential energy
  omega = sqrt(kR/m)  
  delta = atan(v0/omega/x0)
  A = sqrt(x0^2+v0^2/omega^2)
  kR/2*A^2*cos(omega*t - delta)^2 
}    

Wkin <- function(t, m, kR, x0, v0) {    # kinetic energy
  omega = sqrt(kR/m)  
  delta = atan(v0/omega/x0)
  A = sqrt(x0^2+v0^2/omega^2)  
  kR/2*A^2*sin(omega*t + delta)^2 
} 

Wges <- function(t, m, kR, x0, v0) {     # total energy
  Wpot(t, m, kR, x0, v0) + Wkin(t, m, kR, x0, v0) 
}                 

mtxt = "Potential, kinetic, and total energy"
curve(Wpot(x, m, kR, x0, v0), from = 0, to = 15, n = 300, col = "red", 
      lwd = 1.5, lty = 1, ylab = "Epot, Ekin, Eges", xlab = "t(s)", main = mtxt, font.main = 1)
curve(Wkin(x, m, kR, x0, v0), from = 0, to = 15, n = 300, col = "blue", lwd = 1.5, lty = 1, add = TRUE)
curve(Wges(x, m, kR, x0, v0), from = 0, to = 15, n = 300, col = "darkgreen", lwd = 1.5, lty = 1, add = TRUE)
labels = c(expression('W'[pot]), expression('W'[kin]), expression('W'[ges]))
legend("topright",legend=labels, col = c("red", "blue", "darkgreen"), lty= 1, lwd = 2)

Wir vergleichen die in der Abbildung gezeigte Gesamtenergie (grüne Linie) noch mit dem oben gewonnenen analytischen Ausdruck:

Wges = kR/2*x0^2 + m/2*v0^2
Wges
## [1] 4

Stimmt!


uwe.menzel@matstat.org