Drehbewegungen

Maßeinheiten für Winkel

Winkel werden in Grad oder Radiant gemessen. Radiant ist die Länge des Kreisbogens am Einheitskreis, der dem Winkel \(\theta\) entspricht:

Wir können also die folgende Verhältnisgleichung aufschreiben:

\[ \frac{rad}{2 \pi} = \frac{\theta}{360^o} \]

Daraus folgen die Umrechnungsformeln:

\[ \theta = \frac{rad}{\pi} \cdot 180^o \hspace{0.8cm} \text{bzw.} \hspace{0.7cm} rad = \frac{\theta}{180^o} \cdot \pi \]

Daraus lassen sich wiederum schnell einige spezielle Werte ableiten:

\(\theta\)	\(rad\)
\(45^o\)	\(\pi / 4\)
\(90^o\)	\(\pi / 2\)
\(180^o\)	\(\pi\)
\(360^o\)	\(2 \pi\)

Winkelgeschwindigkeit und -beschleunigung bei krummlinigen Bewegungen

Hiermit ist die Bewegung eines Körpers gemeint, bei der sich die Richtung des Geschwindigkeitsvektors \(\vec{v}\) ändert. Der Betrag von \(\vec{v}\) kann sich natürlich ebenfalls ändern.

Krummlinige Bewegung

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit ist der durchlaufene Winkel pro Zeit:

\[ \omega = \frac{d\theta}{dt} \hspace{2cm} [rad/s] \]

Winkelgeschwindigkeit, allgemein

Winkelbeschleunigung

Die Winkelbeschleunigung \(\alpha\) beschreibt die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit und ist damit die 2. zeitliche Ableitung des durchlaufenen winkels:

\[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^2\theta}{dt^2} \hspace{2cm} [rad/s^2] \]

Kenngrößen für die gleichförmige Kreisbewegung

Die ebene gleichförmige Kreisbewegung ist ein wichtiger Spezialfall für eine krummlinige Bewegung.

Bogenlänge

Zusammenhang zwischen Winkel und entsprechendem Teil des Kreisbogens, für beliebigen Radius:

\[ s = r \cdot \theta \hspace{2cm} [m] \]

Der Winkel \(\theta\) muss im Bogenmaß angegeben werden (rad) angegeben werden (z.B. \(\pi\)).

Beispiel: \(\theta = \pi \rightarrow s = \pi \cdot r\) (Ein Winkel von \(180^o\) ergibt eine halben Umfang.)

Umlaufzeit

Umlaufzeit \(T\) = Zeit für einen vollen Umlauf (d.h. für den Winkel \(\theta = 2 \pi\) bzw. \(360^o\)). \(\;\) Einheit: \([s]\)

Frequenz

Frequenz \(f\) (oder Umdrehungszahl \(U\)) = Anzahl der Umdrehungen pro Zeiteinheit:

\[ f = \frac{1}{T} \hspace{1cm} [1/s] \hspace{1.5cm} (1) \] Beispiel \(T = 0.5 \; s \rightarrow f = 2 / s\) ( Eine Umdrehung in \(T = 0.5 \; s\) ergibt eine Frequenz von \(\;f = 2 / s\))

Winkelgeschwindigkeit

Wenn sich ein Körper auf einer ebenen Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) bewegt, kann diese mit (der ebenfalls konstanten) Umlaufzeit \(T\) verknüpft werden. Der Winkel \(2\pi\) wird in der Zeit \(T\) durchlaufen, also ist die Winkelgeschwindigkeit:

\[ \omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi \cdot f \hspace{1cm} [rad/s] \hspace{1.5cm} (2) \]

Beispiel: \(\; T = 0.5 \; s \rightarrow \omega = 4 \pi / s\) ( Eine Umdrehung in \(0.5 \; s\) ergibt eine Winkelgeschwindigkeit von\(\;4 \pi / s\) , also 2 volle Umläufe)

Beispiel: Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
Der durchlaufene Winkel ist proportional der Zeit, also \(\theta(t) \sim t\). Der Proportionalitätsfaktor ist der zurückgelegte Winkel pro Zeit, also die Winkelgeschwindigkeit. Wir haben daher \(\theta(t) = \frac{2 \pi}{T} \cdot t\). Es ist wieder \(\omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{2 \pi}{T}\). Die durchlaufene Bahn in Abhängigkeit von der Zeit ist \(s(t) = r \cdot \theta(t) = 2 \pi r \cdot \frac{t}{T}\).

Bahngeschwindigkeit

Bahngeschwindigkeit \(\;v\) = tangentiale Geschwindigkeit des Körpers

Wenn sich ein Körper auf einer ebenen Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) bewegt, wird die Strecke \(2 \pi \cdot r\) (= Umfang) in der Zeit \(T\) durchlaufen, die Bahngeschwindigkeit ist daher:

\[ v = \frac{2 \pi \cdot r}{T} = \omega \cdot r \hspace{1cm} [m/s] \hspace{1.5cm} (3) \]

Vektorielle Winkelgeschwindigkeit

In manchen Zusammenhängen ist es sinnvoll, die Winkelgeschwindigkeit als vektorielle Größe zu betrachten. Es gilt dann:

\[ \vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{r^2} \hspace{4.8cm} (4) \]

Der Winkelgeschwindigkeits-Vektor \(\vec{\omega}\) steht also laut Definition senkrecht auf dem Radiusvektor \(\vec{r}\) und dem Bahngeschwindigkeits-Vektor \(\vec{v}\), das heißt senkrecht zur Bahnebene, wie in der Skizze angedeutet. Der Betrag von \(\vec{\omega}\) ist dann entsprechend den Rechenregeln für das Kreuzprodukt

\[ \omega = \frac{r \cdot v \cdot \sin{\phi}}{r^2} = \frac{v \cdot \sin{\phi}}{r} \]

wobei \(\phi\) der Winkel zwischen \(\vec{v}\) und \(\vec{r}\) ist. Handelt es sich bei der Bahnkurve um eine Kreisbahn, dann steht \(\vec{v}\) immer senkrecht auf \(\vec{r}\), d.h. \(\phi = \pi/2\), so dass wir wieder bei Gleichung (3) landen.

Aus Formel (4) kann mit einigem Rechenaufwand auch folgende Beziehung abgeleitet werden:

\[ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \hspace{2cm} (5) \] Siehe Anhang für eine Bestätigung dafür, dass die Gleichungen (4) und (5) kompatibel sind.

Das Drehmoment

Definition des Drehmomentes

Drehmoment \(\vec{M}\) = “Fähigkeit, Drehbewegungen in Gang zu setzen oder zu bremsen”

Greift eine Kraft \(\vec{F}\) im Abstand \(r\) vom Rotationszentrum an, dann ist das Drehmoment:

\[ \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} \]

Der Vektor \(\vec{r}\) zeigt von der Drehachse zum Ansatzpunkt der Kraft \(\vec{F}\). Das Drehmoment steht (laut Definition) senkrecht auf \(\vec{r}\) und \(\vec{F}\) (siehe Wikipedia). Das Drehmoment ist das Analogon für die Kraft bei geradlinigen Bewegungen.

Betrag des Drehmomentes

Nach den Rechenregeln für das Kreuzprodukt gilt für den Betrag von \(\vec{M}\) (wir setzen \(\mid \vec{M} \mid = M\), \(\mid \vec{r} \mid = r\), und \(\mid \vec{F} \mid = F\)):

\[ M = r \cdot F \cdot \sin{\alpha} \hspace{2cm} [Nm] \]

Für das Drehmoment zählt also nur die zum Radiusvektor \(r\) orthogonale Komponente der Kraft \(F_{\perp} = F \cdot \sin{\alpha}\).

Greift die Kraft \(\vec{F}\) senkrecht zu \(\vec{r}\) an (\(\alpha = 90^o\)), dann ist der Betrag des Drehmomentes einfach

\[ M = r \cdot F \]

Please, also have a look at the English Wikipedia entry for torque. It is very nice!

Das Trägheitsmoment

Trägheitsmoment \(J\): “Desto größer das Trägheitsmoment, desto schwieriger ist es, einen Körper in Drehbewegung zu versetzen und desto schwieriger ist es, diese Drehbewegung wieder zu stoppen.”, siehe diesen Beitrag).
Das Trägheitsmoment ist das Analogon für die (träge) Masse bei geradlinigen Bewegungen.

Trägheitsmoment einer Punktmasse

Das Trägheitsmoment einer Punktmasse \(m\) im Abstand \(r\) von der Rotationsachse ist

\[ J_{Punkt} = m \cdot r^2 \hspace{2cm} [kg \cdot m^2] \]

Trägheitsmoment von Punktmengen

Wenn sich viele Punkte um eine Rotationsachse bewegen, müssen die Trägheitsmomente aller Punktmassen \(m_i\) addiert werden:

\[ J_{Punkte} = \sum_i m_i \cdot r_i^2 \]

Trägheitsmoment eines massiven Körpers

Handelt es sich um einen massiven Körper, dann geht die Summe in ein Integral über:

\[ J_{Körper} = \int_r r^2 dm \]

Das Trägheitsmoment hängt von der Position der Drehachse sowie der Form und Massenverteilung des rotierenden Körpers ab. Eine Tabelle mit den Trägheitsmomenten für verschiedene Köper und verschiedene Rotationsachsen findet sich bei Wikipedia.

Satz von Steiner

In der Tabelle ist meistens das Trägheitsmoment in Bezug auf eine Rotationsachse gegeben, die durch den Schwerpunkt des jeweiligen Körpers verläuft. Das Trägheitsmoment für parallel zum Schwerpunkt verlaufende Rotationsachsen kann auch mit dem Satz von Steiner berechnet werden:

\[ J_{neu} = J_s + m \cdot d^2 \]

Hier ist \(J_s\) das Trägheitsmoment bei einer Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt; \(d\) die Strecke, um die die Rotationsachse parallel verschoben wurde und \(m\) ist die Gesamtmasse des Körpers. Siehe auch dieses Kapitel.

Zweites Newtonsches Axiom

In Bezug auf Drehbewegungen wird hier die Winkelbeschleunigung quantifiziert, die durch ein bestimmtes Drehmoment hervorgerufen wird. Dies ist das Analogon zu \(\vec{F} = m \cdot \vec{a}\) bei linearen Bewegungen.

\[ \vec{M} = J \cdot \vec{a_{\theta}} \]

Hier sind \(\vec{M}\) das Drehmoment, \(J\) das Trägheitsmoment des Körpers und \(\vec{a_{\theta}}\) die hervorgerufene Winkelbeschleunigung.

Der Drehimpuls

Der Drehimpuls ist wie der lineare Impuls eine Erhaltungsgröße. Wirken keine externen Drehmomente auf ein System, dann ändert sich der Drehimpuls des Systems nicht. Der Drehimpuls ist eine vektorielle Größe - sowohl Betrag als auch Richtung bleiben beim Fehlen äußerer Drehmomente erhalten. Allerdings hängt der Bahndrehimpuls von der Wahl des Bezugspunktes ab (siehe unten).

Drehimpuls einer Punktmasse

Der Drehimpuls einer Punktmasse \(m\), die sich mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) im Abstand \(r\) von einem Bezugspunkt bewegt, ist:

\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m \cdot \left( \vec{r} \times \vec{v} \right) \hspace{1cm} [kg \cdot m^2/s] \hspace{2cm} (6) \] Hier is \(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\) der lineare Impuls. Der Drehimpuls steht laut Definition senkrecht auf \(\vec{r}\) und \(\vec{v}\), also senkrecht auf der Bahnebene. Im Anhang wird die Bestimmumg der Richtung noch genauer erklärt.

Drehimpuls einer Punktmasse

Der Drehimpuls ist vom Bezugspunkt abhängig. Ändert sich der Bezugspunkt, so ändert sich im Allgemeinen auch der Drehimpuls. Damit ist der Drehimpuls eigentlich ein Pseudovektor.

Betrag des Drehimpulses einer Punktmasse

Entsprechend den Rechenregeln für das Kreuzprodukt ist der Betrag \(L = \mid \vec{L} \mid\) des Drehimpulses einer Punktmasse (mit \(\mid \vec{r} \mid = r\) und \(\mid \vec{v}\mid = v\)):

\[ L = m \cdot r \cdot v \cdot \sin{\theta} \]

wobei \(\theta\) der Winkel zwischen \(\vec{r}\) und \(\vec{v}\) ist. (Siehe auch diese Anmerkung im Anhang zur Wahl von \(\theta\).)

Die Größe \(r \cdot \sin{\theta} = r_{\perp}\) ist die senkrechte Projektion vom Bezugspunkt auf die Richtung von \(\vec{v}\). Wir können daher auch schreiben:

\[ L = m \cdot v \cdot r_{\perp} \]

Drehimpuls einer sich geradlinig bewegenden Punktmasse

Aufgrund der obigen Definition hat selbst eine sich geradlinig bewegende Punktmasse eine Drehmoment (!), sofern der Bezugspunkt nicht direkt in der Flugbahn liegt, wenn also \(r_{\perp} > 0\) ist:

Für alle Bezugspunkte, die den gleichen vertikalen Abstand \(r_{\perp}\) zur geradlinigen Flugbahn haben, ist der Drehimpuls gleich (grüne Punkte).

Der Drehimpuls für die ebene Kreisbewegung

Drehimpuls in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit

Bei ebenen Kreisbewegungen um den Ursprung stehen \(\vec{r}\) und \(\vec{v}\) stets senkrecht aufeinander. In diesem Fall vereinfacht sich der Ausdruck für den Betrag des Drehimpulses:

\[ L = m \cdot r \cdot v \cdot \sin{(90^o)} = m \cdot r \cdot v = m \cdot r^2 \cdot \omega \]

denn \(\sin{(90^o)}=1\), \(\mid \vec{r} \mid = r\) und \(\mid \vec{v}\mid = v = \omega \cdot r\).

Drehimpuls in Abhängigkeit vom Trägheitsmoment

Das Trägheitsmoment für eine Punktmasse auf einer Kreisbahn mit dem Radius \(r\) ist \(J = m \cdot r^2\). Damit ist das Drehmoment der Punktmasse \(m\) bei der ebenen Kreisbewegung laut oben stehender Formel

\[ L = J \cdot \omega \]

Wir werden gleich sehen, dass diese Formel für alle Körper gilt, die sich um eine Achse durch ihren Schwerpunkt drehen (wobei jeweils das passende Trägheitsmoment \(J\) verwendet werden muss).

Noch einmal Richtung des Drehimpulses

Bei ebenen Kreisbewegungen um den Ursprung kann man die Richtung des Drehimpulsvektors noch einfacher bestimmen:

Source: https://de.wikipedia.org/wiki/Drehimpuls

Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand der Richtung der Drehbewegung folgen, dann zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses.

Drehimpuls eines Körpers

Der Drehimpuls eines Körpers ist die vektorielle Summe der Drehimpulse aller seiner Massenpunkte. Entsprechend Gleichung (6) erhalten wir also:

\[ \vec{L} = \sum_i m_i \cdot (\vec{r_i} \times \vec{v_i}) \]

(Bei einem massiven Körper mit kontinuierlicher Massenverteilung geht diese Summe eigentlich in ein Integral über.)

Wir zerlegen jetzt jeden Ortvektor \(\vec{r_i}\) in einen Anteil \(\vec{s}\), der zum Schwerpunkt zeigt und einen Vektor \(\vec{\rho_i}\), der von dort zum Massenpunkt zeigt:

(\(\vec{s}\) ist für alle Massenpunkte gleich.)

Analog gehen wir mit den Geschwindigkeiten aller Massenpunkte vor. Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes sei \(\vec{v}_s\).

Nach einigen Umformungen (siehe Wikipedia) erhalten wir für den Gesamtdrehimpuls des Körpers:

\[ \vec{L}_{ges} = M \cdot ( \vec{s} \times \vec{v}_s ) + J \cdot \vec{\omega} \hspace{2cm} (7) \] Hier ist \(M\) die Gesamtmasse des Körpers, \(J\) das Trägheitsmoment des Körpers bezogen auf eine Rotationsachse durch den Schwerpunkt, und \(\vec{\omega}\) die Winkelgeschwindigkeit des Körpers um die Rotationsachse durch den Schwerpunkt.

Der erste Summand auf der rechten Seite von (7), \(M \cdot ( \vec{s} \times \vec{v}_s )\), beschreibt den Drehimpuls des Schwerpunktes bezogen auf die Drehachse. Dieser Term hat die gleiche Form wie der Drehimpuls eines Massenpunktes. Dies ist der Bahndrehimpuls des Körpers.

Der zweite Summand auf der rechten Seite von (7), \(J \cdot \vec{\omega}\), beschreibt den Drehimpuls des Körpers bezogen auf eine Achse, die durch seinen Schwerpunkt geht. Dies ist der Eigendrehimpuls des Körpers.

Wir können also im Allgemeinen den Drehimpuls eines Körpers in Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls unterteilen. So dreht sich z.B. die Erde um die Sonne (Bahndrehimpuls) und um die eigene Achse (Eigendrehimpuls).

Bei vielen praktischen Problemen spielen nur Drehungen um den Schwerpunkt eine Rolle, Gleichung (7) reduziert sich also auf \(L = J \cdot \omega\). Dieser Impuls ist dann eine Erhaltungsgröße. Ändert sich das Trägheitsmoment (“Eiskunstläuferin legt Arme an”), dann muss sich auch die Winkelgeschwindigkeit ändern, es gilt:

\[ J_1 \cdot \omega_1 = J_2 \cdot \omega_2 \]

Kinetische Energie

Kinetische Energie der Rotation

Die kinetische Energie der Rotation um den Schwerpunkt ist

\[ E_{rot} = \frac{J}{2} \cdot \omega^2 \hspace{2cm} [kg \cdot m^2/s^2 = Nm = Joule] \]

Dies ist analog zur kinetischen Energie der linearen Bewegung (Translation), \(m/2 \cdot v^2\).

Kinetische Energie der Translation und Rotation

Ein rollender Körper besitzt Translations- und Rotationsenergie, z. B. beim Herunterrollen von einer schiefen Ebene (Beispiel). Die Gesamtenergie ist daher:

\[ E_{ges} = E_{trans}+E_{rot} = \frac{m}{2} \cdot v^2 + \frac{J}{2} \cdot \omega^2 \]

Die Zentripetalkraft

Die Zentripetalkraft ist zum Mittelpunkt des Krümmungskreises der Flugbahn gerichtet (bei einer idealen Kreisbewegung also zum Mittelpunkt des Kreises). Sie zwingt den Körper auf eine gekrümmte Bahn, anderenfalls würde der Körper aufgrund der Trägheit einfach geradeaus fliegen. So hält die zur Erde gerichtete Gravitationskraft den Mond auf einer Bahn um die Erde.

Für einen Köper der Masse \(m\), der eine ebene Kreisbewegung durchführt, ist der Betrag der Zentripetalkraft:

\[ F = m \cdot \frac{v^2}{r} = m \cdot r \cdot \omega^2 \]

Die Zentripetalbeschleunigung \(a = F/m\) beträgt daher:

\[ a = \frac{v^2}{r} = r \cdot \omega^2 \]

Wenn wir im Auto sitzen und eine Linkskurve fahren werden wir nach rechts gegen die Tür gedrückt. Dies wird durch die Zentrifugalkraft bewirkt. Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft, die durch das Wirken der Trägheit zustande kommt. Unsere Körper “wollen” geradeaus weiterfahren, werden aber durch den Sitz nach links gedrückt. Entsprechend dem 3. Newtonschen Gesetz (“Kraft gleich Gegenkraft”) drücken wir mit der gleichen Kraft gegen den Sitz. Die Zentrifugalkraft hat den gleichen Betrag wie die Zentripetalkraft, ist ihr jedoch entgegengerichtet.

Die Corioloskraft

Optional!

Eine weitere Trägheitskraft in rotierenden Systemen ist die Corioliskraft. Die Coriolis[schein]kraft wirkt auf Körper, die sich in einem rotierenden Bezugssystem bewegen.

Beispiel: Kugel auf einer Drehscheibe

Die Kugel in der Mitte wird mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) auf den Zielpunkt zugerollt, während sich die Scheibe dreht. Die Winkelgeschwindigkeit steht laut Definition senkrecht auf der Drehscheibe. Wir nehmen an, dass sich die Kugel völlig reibungsfrei bewegt, d.h. sie wird nicht mit der Scheibe “mitgerissen”. Daher bewegt sie im Bezugssystem eines äußeren Beobachters aufgrund der Trägheit geradlinig auf den Zielpunkt zu.

Allerdings sieht ein sich mitdrehender Beobachter etwas anderes. Die gestrichelte Linie deutet jeweils die Blickrichtung des sich mitdrehenden Beobachters an. Da sich die Scheibe inzwischen weiter nach links dreht, sieht er die Kugel nach rechts wegdriften. Er führt dieses Verhalten auf die Wirkung einer Kraft zurück - der Corioliskraft.

Die Größe der Corioliskraft ist:

\[ \vec{F_c} = 2m \cdot ( \vec{v} \times \vec{\omega}) \]

Auf der Erde sind wir aufgrund der Erdrotation alle mitdrehende Beobachter. Der Betrag der Corioliskraft auf der Erdoberfläche ist:

\[ F_c = 2m \cdot v \cdot ω \cdot \sin{\phi} \] Hier ist \(m\) die Masse des Körpers, \(v\) seine Geschwindigkeit, \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit der Erde und \(\phi\) die geographische Breite. Die Winkelgeschwindigkeit der Erde beträgt \(2\pi\) pro Tag, also \(\omega = 2\pi / 24 \; h = 2\pi / 86400 \; s^{-1} \approx 7.27 \cdot 10^{-05} \; s^{-1}\).

Die Corioliskraft ist z. B. für die Drehung der Windfelder um Hoch- und Tiefdruckgebiete und die Ausbildung globaler Windsysteme wie Passatwinde und Jetstream verantwortlich.

Analogien zwischen Drehbewegung und geradliniger Bewegung

Lineare Bewegung	Formel	Drehbewegung	Formel
Geschwindigkeit	\(v=\frac{ds}{dt}\)	Winkelgeschwindigkeit	\(\omega=\frac{d\theta}{dt}\)
Beschleunigung	\(a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}\)	Winkelbeschleunigung	\(a_{\theta}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^2\theta}{dt^2}\)
Masse	\(m\)	Trägheitsmoment	\(J\)
Kraft	\(\vec{F}\)	Drehmoment	\(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\)
—	—	Bahndrehimpuls	\(\vec{L} = m \cdot \left(\vec{r} \times \vec{v}\right)\;\)
Impuls	\(\vec{p} = m \cdot \vec{v}\)	Eigendrehimpuls	\(\;L=J\cdot \omega\)
Translationsenergie	\(E_{kin}=\frac{m}{2}\cdot v^2\)	Rotationsenergie	\(E_{rot}=\frac{J}{2}\cdot \omega^2\)
2. Newtonsches Axiom	\(\vec{F} = m \cdot \vec{a}\)	2. Newtonsches Axiom	\(\vec{M} = J \cdot \vec{a_{\theta}}\)
Impulsänderung	\(\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}\)	Drehimpulsänderung	\(\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{M}\)

Quantisierung des Drehimpulses

Optional!

In der Mikrowelt herrschen quantenmechanische Gesetze. Der Bahndrehimpuls eines Teilchens kann nicht beliebige Werte annehmen, sondern ist gequantelt. Der Betrag des Bahndrehimpulses kann folgende Werte annehmen:

\[ L = \sqrt{l \cdot (l+1)} \cdot \hbar \hspace{2cm} l = 1, 2, 3, \dots \] Hier ist \(\hbar = h / 2\pi\), wobei \(h\) das Plancksche Wirkungsquantum ist. Die ganzzahligen Werte \(l\) nennt man Drehimpulsquantenzahlen.

Das gleiche gilt für den Eigendrehimpuls (Spin) von Teilchen:

\[ S = \sqrt{s \cdot (s+1)} \cdot \hbar \hspace{2cm} s = 0, \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \frac{5}{2} \dots \] Für den Spin sind halb- und ganzzahlige Werte möglich. Der Spin ist eine intrinsische Eigenschaft von Elementarteilchen, d.h. jede Teilchenart hat einen bestimmten Spin. So hat z. B. das Elektron den Spin \(\frac{1}{2}\), es ist also

\[ S_{Elektron} = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2}+1)} \cdot \hbar = \sqrt{\frac{3}{4}} \cdot \hbar \]

Man unterscheidet Fermionen (Elektronen, Protonen, Peutronen) mit halbzahligen Spin und Bosonen (Photon) mit ganzahligem Spin.

Anhang

Kompatibilität der Gleichung (4) und (5)

Wir wollen zeigen, dass die Gleichungen (4) und (5) miteinander vereinbar sind (das sieht ja auf den ersten Blick nicht so aus). Diese Rechnerei richtet sich natürlich nur an Interessierte.

Gleichung (4) war:

\[ \vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times \vec{v}}{r^2} \] Wir setzen jetzt für \(\vec{v}\) die Gleichung (5), also \(\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}\), ein und zeigen, dass eine Identität entsteht:

\[ \vec{\omega} = \frac{\vec{r} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) }{r^2} \]

Für das 3-fache Kreuzprodukt auf der rechten Seite können wir folgende Formel (Graßmann-Identität) anwenden:

\[ \vec{a} \times ( \vec{b} \times \vec{c} ) = \vec{b} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{c}) - \vec{c} \cdot (\vec{a} \cdot \vec{b}) \]

(Merkhilfe: “bac minus cab”)

Dies gilt für beliebige Vektoren \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\). Wir können also \(\vec{a} \rightarrow \vec{r}\), \(\vec{b} \rightarrow \vec{\omega}\) und \(\vec{c} \rightarrow \vec{r}\) setzen und erhalten statt der oben stehenden Beziehung:

\[ \vec{r} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r} ) = \vec{\omega} \cdot (\vec{r} \cdot \vec{r}) - \vec{r} \cdot (\vec{r} \cdot \vec{\omega}) \]

Es ist nun \(\vec{r} \cdot \vec{r} = r^2\) und \(\vec{r} \cdot (\vec{r} \cdot \vec{\omega}) = 0\), denn \(\vec{r}\) steht nach (4) senkrecht auf \(\vec{\omega}\), wodurch das Skalarprodukt in der Klammer Null wird. Wir haben nun also nur noch

\[ \vec{\omega} = \frac{ \vec{\omega} \cdot r^2 }{r^2} = \vec{\omega} \]

also die gewünschte Identität.

Wahl des Winkels zwischen \(\vec{r}\) und \(\vec{v}\)

Die Formel für den Betrag des Drehimpulses einer Punktmasse lautet:

\[ L = m \cdot r \cdot v \cdot \sin{\theta} \]

Es spielt hier keine Rolle, ob der spitze oder der stumpfe Winkel zwischen \(\vec{r}\) und \(\vec{v}\) gewählt wird, denn beide ergeben das gleiche Ergebnis, da \(\sin{(\pi - \theta)} = \sin{\theta}\)

Richtung des Drehimpulsvektors

Wir hatten \(\vec{L} = m \cdot \left( \vec{r} \times \vec{v} \right)\). Die Richtung des Ergebnisvektors folgt aus der allgemeinen Definition des Vektorproduktes. Man lege die Startpunkte beider Vektoren auf der rechten Seite zusammmen (evtl. durch Parallelverschiebung eines der Vektoren). Nun dreht man den ersten Vektor (hier \(\vec{r}\)) auf dem kürzesten Weg zu dem anderen.
- Ensteht dabei eine Bewegung im Uhrzeigersinn, dann zeigt der Ergebnisvektor senkrecht in die Papierebene hinein.
- Ensteht dabei eine Bewegung gegen den Uhrzeigersinn, dann zeigt der Ergebnisvektor senkrecht aus der Papierebene heraus.

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